Optimale kontrollproblemer. Optimal kontroll - Matematisk komponent Definisjon og nødvendigheten av å konstruere optimale automatiske kontrollsystemer

Optimal kontroll

Andrey Alexandrovich Agrachev

Det er menneskets natur å strebe etter perfeksjon. I matematikk manifesterer det seg i jakten på de beste (optimale) løsningene, inkludert alle maksimums- og minimumsproblemer. Teorien om optimal kontroll inkluderer de der løsningen har en viss utstrekning i tid eller rom. Et passende bilde er å kartlegge den beste veien når du beveger deg gjennom svært ulendt terreng.

Generelt sett er matematikere, som alle mennesker, veldig glad i visuelle bilder, men i virkeligheten snakker vi om ethvert system som kontinuerlig kan endres innenfor visse grenser, akkurat som vi endrer bevegelsesretningen når vi legger en sti. Andre passende eksempler: kontroll av en bil, et fly, en teknologisk prosess eller, til syvende og sist, kroppen din.

Det kreves at systemet best mulig overføres fra en gitt tilstand til den ønskede: så raskt som mulig, eller på den mest økonomiske måten, eller med størst fordel, eller i samsvar med et mer komplekst kriterium; vi bestemmer selv hva som er viktigere. Hvis den umiddelbare reaksjonen til systemet på våre handlinger er velkjent, er teorien om optimal kontroll designet for å hjelpe oss med å finne den beste langsiktige strategien. Her er et enkelt eksempel: du må stoppe svingningene så raskt som mulig (si, stopp "svingen"), bruke den lille kraften først på den ene siden, så på den andre. Du må flytte fra den ene siden til den andre mange ganger. Hva er regelen for å gjøre dette? Det er klart at "svingen" kan være finansiell, økonomisk og fysisk og teknisk ...

Det er verdt å merke seg at et så åpenbart anvendt emne som teorien om optimal kontroll ble opprettet ved Steklov Mathematical Institute av rene matematikere, Lev Semyonovich Pontryagin og hans studenter, profesjonelle topologer. De første imponerende anvendelsene av denne teorien som ga den berømmelse var i det sovjetiske romprogrammet og det amerikanske Apollo-programmet. I disse programmene ble alt gjort til grensen av evner, og uten smart optimalisering var det umulig å takle. Blant oppgavene som var populære på den tiden, kunne man merke seg den mest økonomiske overføringen av et romfartøy fra en elliptisk bane til en annen og en myk landing på månen. Hovedprestasjonen i den perioden var Pontryagins maksimale prinsipp - et kraftig universelt verktøy som lar deg velge en ganske smal klasse av kontrollstrategier, blant hvilke bare den optimale kan være.

Pontryagins maksimumsprinsipp er spesielt bra når det brukes på enkle "lineære" modeller, men mister sin effektivitet og må suppleres med andre midler når man studerer systemer med mer kompleks ikke-lineær struktur. La oss gå tilbake til swing-eksemplet. Hvis oscillasjonsamplituden er liten, er systemet nesten lineært og oscillasjonsperioden er nesten uavhengig av amplituden. Maksimumsprinsippet gir en enkel og entydig lov om optimal oppførsel for en lineær tilnærming: du må bevege deg fra den ene siden til den andre nøyaktig etter en halv periode og hver gang bruke maksimalt mulig kraft. Samtidig, ved en stor amplitude, når systemet er betydelig ikke-lineært, blir anbefalingene til maksimalprinsippet svært kompliserte og slutter å være entydige.

Nye regler for optimal oppførsel, som utfyller maksimalprinsippet, er gitt av den geometriske kontrollteorien som for tiden aktivt utvikles. Faktum er at moderne geometri lar deg utvide kontrollfunksjonene kraftig, leke med rekkefølgen og varigheten av bruken av flere enkle manøvrer, velge optimale "harmoniske" kombinasjoner av manøvrer, resultatet av hver av dem er velkjent og ganske banalt. Det ligner på hvordan en symfoni er sammensatt av flere toner, bare i matematikk er alt mer presist, strengere og mer symmetrisk, men ikke så emosjonelt.

Geometrisk kontrollteori brukes i romnavigasjon, robotikk og mange andre felt, men kanskje de mest populære moderne applikasjonene er i kvantesystemer (fra medisinske enheter med kjernemagnetisk resonans til kjemisk manipulering av individuelle molekyler). Sjarmen med geometrisk kontrollteori ligger blant annet i den sjeldne muligheten til å materialisere, se og "røre" vakre og dype abstrakte matematiske konsepter, og selvfølgelig skape nye!

Litteratur

Tikhomirov V. M. Historier om oppturer og nedturer. - M.: Nauka, 1986. - (Bibliotek “Quantum”; utgave 56). — [Opptrykk: M.: MTsNMO, 2006, 2017].

Protasov V.Yu. Maksima og minimum i geometri. - M.: MTsNMO, 2012. - (Bibliotek "Matematisk utdanning"; utgave 31).

Statens utdanningsinstitusjon

høyere profesjonsutdanning

Moskva institutt for fysikk og teknologi

(State University)

JEG GODKJENT

Prorektor for akademiske spørsmål

Yu.A.Samarsky

"____"_______________2004

PROGRAM

kurs: OPTIMAL STYRING

i retning 511600

fakultetet ved FUPM

Institutt for matematiske grunnlag for kontroll

vi vil IV

semester 7, 8

forelesninger – 50 timer. Eksamen – 8. semester

seminarer – 50 timer. Prøve – 7. semester

laboratorieklasser - nr

Selvstendig arbeid - 2 timer pr uke

TOTALT TIMER 100

Programmet og oppgaven er satt sammen av: Doktor i fysiske og matematiske vitenskaper, professor Zhadan V.G.

Avdelingsleder S.A. Guz

1. Hovedproblemet med optimal kontroll. Maksimumsprinsipp L.S. Pontryagin (minimumsprinsipp). Kanonisk form for notasjon. Maksimumsprinsippet for systemer som inneholder kontrollparametere.

2. Problemer med en bevegelig høyre ende. Betingelser for transversalitet. Problemer med Lagrange og Boltz. Mayer og Lagrange problemer med ufiksert prosessgjennomføringstid. Hastighetsutfordring. Problem med en bevegelig venstre ende.

3. Bevis for maksimumsprinsippet L.S. Pontryagin for Mayer-problemet. Konseptet med nålevariasjon. Gronwall-Bellman Lemma. Regnskap for optimalisering etter kontrollparameter.

4. Kobling av maksimumsprinsippet med variasjonsberegningen. Eulers ligning. Første integraler av Eulers ligning. Weerstrass, Legendre og Jacobi forhold. Jacobi-ligningen. Weierstrass–Erdmann forhold.

5. Lineære systemer. Maksimumsprinsippet for lineære systemer. Teorem om det endelige antallet koblingspunkter.

6. Reachability sett for lineære systemer. Ekstrem ledelse og ekstremt prinsipp.

7. Punktstyrbarhet for lineære systemer. Punktkontrollerbarhetskriterium. Kalmans teorem om punktkontrollerbarhet. Full kontrollerbarhet av lineære systemer. Kalmans teorem om fullstendig kontrollerbarhet av autonome systemer.

8. Observerbarhetsproblem. Observerbarhetskriterium for et lineært system. Observasjon av den opprinnelige tilstanden. Forholdet mellom observerbarhet og kontrollerbarhet. Kriterium for fullstendig observerbarhet av et stasjonært system.

9. Lagrange-formalisme og dens bruk for å løse optimale kontrollproblemer. Problemet med optimal kontrollsyntese.

10. Identifikasjonsproblem. Identifikasjonskriterium. Kriterium for fullstendig identifiserbarhet av et stasjonært system.

11. Systemer med diskontinuerlige høyresider. Pulshopptilstand.

12. Konseptet med invariante systemer. Egenskaper til dynamiske systemer. Referansefelt for pulser. Nødvendige og tilstrekkelige betingelser for invarians. Korrigerende funksjon.

13. Tilstrekkelige forhold for optimalitet. Felt av ekstremer. Forbindelse med tilstrekkelige Weierstrass-betingelser for det klassiske problemet med variasjonsregningen.

14. Elementer i teorien om dynamisk programmering. Nødvendige forhold for optimalitet. Tilstrekkelige forhold for optimalitet. Bellman-ligningen. Utledning av maksimumsprinsippet fra dynamisk programmering. Sammenheng med variasjonsregningen.

15. Metoder for løsning av grenseverdiproblemer. Anvendelse av Newtons metode. Overføring av randbetingelser. Feiemetoden for ikke-lineære problemer.

16. Numeriske metoder basert på sekvensiell analyse av opsjoner. "Kyiv kost"-metoden, vandrerørsmetoden, metoden med lokale variasjoner.

17. Numeriske metoder basert på reduksjon til ikke-lineære programmeringsproblemer. Beregning av derivater med hensyn til komponentene i kontrollvektoren i tilfelle av diskrete prosesser. Straffemetode, lastet funksjonell metode.

18. Diskret minimumsprinsipp. Variasjonelle ulikheter. Anvendelse av den betingede gradientmetoden for å løse optimale kontrollproblemer. Kvasi-minimumsprinsipp.

19. Tilstrekkelige forhold for optimalitet V.F. Krotov for kontinuerlige og diskrete prosesser. Anvendelse av formalisme V.F. Krotov for å løse lineære problemer.

20. Spesielle kontroller. Bestemmelse av spesielle kontroller ved hjelp av Poisson-braketter. Kelly og Kopp–Moyer forhold.

BIBLIOGRAFI

1. Moiseev N.N. Numeriske metoder i teorien om optimale systemer. – M.: Nauka, 1971.

2. Evtushenko Yu.G. Metoder for å løse ekstreme problemer og deres anvendelse i optimaliseringssystemer. – M.: Nauka, 1982.

3. Moiseev N.N., Ivanilov Yu.P., Stolyarova E.M. Optimaliseringsmetoder. – M.: Nauka, 1987.

4. Pontryagin L.S., Boltyansky V.G., Gamkrelidze Z.V., Mishchenko E.F. Matematisk teori om optimale prosesser. – M.: Fizmatgiz, 1961.

5. Vasiliev F.P. Metoder for å løse ekstreme problemer. – M.: Nauka, 1988.

6. Gabasov R., Kirillova F.M. Maksimumsprinsippet i teorien om optimal kontroll. – Minsk: Vitenskap og teknologi, 1974.

7. Fleming W., Richel R. Optimal kontroll av deterministiske og stokastiske systemer. – M.: Mir, 1978.

8. Grunnleggende om teorien om optimal kontroll /Redigert av V.F. Krotova.– M.: Videregående skole, 1990.

9. Lee E.B., Marcus P. Grunnleggende om optimal kontrollteori. M.: Nauka, 1972.

10. Gabasov R., Kirillova F.M. Spesielle optimale kontroller. – M.: Nauka, 1973.

Du kan se oppgaven

Optimal prosesskontroll (Forelesning)

FOREDRAGSPLAN

1. Grunnleggende begreper for å finne ytterpunktet til en funksjon

2. Klassifisering av optimale kontrollmetoder

1. Grunnleggende begreper for å finne ytterpunktet til en funksjon

Enhver matematisk formulering av et optimalt problem er ofte ensbetydende med eller ekvivalent med problemet med å finne ekstremumet til en funksjon av en eller mange uavhengige variabler. Derfor, for å løse slike optimale problemer, kan ulike metoder for å søke etter et ekstremum brukes.

Generelt er optimeringsproblemet formulert som følger:

Finn utvendig av funksjon R (x), hvor XX

R (x) – kalt den objektive funksjonen eller funksjonen eller optimaliseringskriterium eller optimalisert funksjon

X er en uavhengig variabel.

Som kjent kan de nødvendige betingelsene for eksistensen av et ekstremum av en kontinuerlig funksjon R(x) oppnås fra analysen av den første deriverte. I dette tilfellet kan funksjonen R (x) ha ekstreme verdier for slike verdier av den uavhengige variabelen X, der den første deriverte er lik 0, dvs. =0. Grafisk, hvis den deriverte er null, betyr det at tangenten til kurven R(x) på dette punktet er parallell med abscissen.

Likheten til den deriverte =0 er en nødvendig betingelse for et ekstremum.

Likheten av den deriverte til null betyr imidlertid ikke at det er et ekstremum på dette punktet. For å endelig sikre at det virkelig er et ekstremum på dette tidspunktet, er det nødvendig å utføre ytterligere forskning, som består av følgende metoder:

1. Metode for å sammenligne funksjonsverdier

Verdien av funksjonen R (x) ved det "mistenkte" ekstremumpunktet X K sammenlignes med to naboverdier av funksjonen R (x) ved punktene X K-ε og X K+ε, der ε er en liten positiv verdi. (Fig. 2)

Hvis begge de beregnede verdiene av R (X K+ε) og R (X K-ε) viser seg å være mindre eller større enn R (X K), så er det ved punktet X K et maksimum eller minimum av funksjonen R (x).

Hvis R (X K) har en mellomverdi mellom R (X K-ε) og R (X K+ε), så har funksjonen R (x) verken et maksimum eller et minimum.

2. Metode for å sammenligne tegn på derivater

La oss igjen vurdere funksjonen R (X K) i nærheten av punktet X K, dvs. X K+ε og X K-ε. Med denne metoden vurderes fortegnet til den deriverte i nærheten av punktet X K Hvis fortegnene til den deriverte i punktene X K-ε og X K + ε er forskjellige, er det et ekstremum i punktet X K. I dette tilfellet kan typen ekstremum (min eller maks) finnes ved å endre fortegnet til den deriverte når man beveger seg fra punkt X K-ε til punkt X K+ε.

Hvis tegnet endres fra "+" til "-", så er det ved punkt X K et maksimum (fig. 3b), hvis tvert imot fra "-" til "+", så er det et minimum. (Fig. 3a)

3. En metode for å studere tegn på høyere derivater.

Denne metoden brukes i tilfeller der det på det "mistenkte" punktet ved ekstremumet er derivater av høyere orden, dvs. funksjonen R (X K) er ikke bare kontinuerlig selv, men har også kontinuerlige deriverte og .

Metoden koker ned til følgende:

På punktet X K"mistenkt" til det ytterste, som det er sant for

verdien av den andre deriverte beregnes.

Hvis samtidig , så er ved punkt X K maksimum,

Hvis , så er ved punkt X K et minimum.

Når du løser praktiske optimaliseringsproblemer, er det nødvendig å ikke finne noen min- eller maksverdi av funksjonen R (X K), men den største eller minste verdien av denne funksjonen, som kalles det globale ekstremumet. (Fig. 4)

I det generelle tilfellet består optimeringsproblemet i å finne ekstremumet til funksjonen R (X), i nærvær av visse begrensninger på ligningene til den matematiske modellen.

Hvis R (X) er lineær, og området med mulige løsninger er spesifisert av lineære likheter og ulikheter, så hører problemet med å finne ytterpunktene til en funksjon til klassen av lineære programmeringsproblemer.

Ofte er mengden X definert som et system av funksjoner

Da ser den matematiske utsagnet av det lineære programmeringsproblemet slik ut:

Hvis enten målfunksjonen R (X) eller noen av begrensningene ikke er en lineær funksjon, tilhører oppgaven med å finne ytterpunktet til funksjonen R (X) klassen av ikke-lineære programmeringsproblemer.

Hvis det ikke legges begrensninger på variablene X, kalles et slikt problem et ubetinget ekstremumproblem.

Eksempel på et typisk optimaliseringsproblem

Problem med en boks med maksimalt volum.

Fra dette emnet skal det kuttes ut fire jevne firkanter i hjørnene, og den resulterende figuren (fig. 5 b) skal bøyes slik at den danner en boks uten topplokk (fig. 6.5 c). i dette tilfellet er det nødvendig å velge størrelsen på de kuttede firkantene slik at du får en boks med maksimalt volum.

Ved å bruke dette problemet som et eksempel, kan vi illustrere alle elementene ved innstilling av optimaliseringsproblemer.

Ris. 5. Ordning for fremstilling av en boks fra et rektangulært emne med fast størrelse

Evalueringsfunksjonen i denne oppgaven er volumet til den produserte boksen. Problemet er å velge størrelsen på rutene som skal kuttes ut. Faktisk, hvis størrelsen på de kuttede firkantene er for liten, vil en bred boks med lav høyde oppnås, noe som betyr at volumet vil være lite. På den annen side, hvis størrelsen på de kuttede firkantene er for store, vil en smal boks med stor høyde oppnås, noe som betyr at volumet også vil være lite.

Samtidig er valget av størrelsen på de kuttede firkantene påvirket av begrensningen av størrelsen på det originale arbeidsstykket. Faktisk, hvis du kutter ut firkanter med en side lik halvparten av siden av det originale arbeidsstykket, blir oppgaven meningsløs. Siden av de kuttede firkantene kan heller ikke overstige halvparten av sidene til det originale arbeidsstykket, siden dette er umulig av praktiske årsaker. Det følger av dette at formuleringen av dette problemet må inneholde noen begrensninger.

Matematisk formulering av problemet med en boks med maksimalt volum. For å formulere dette problemet matematisk, er det nødvendig å ta hensyn til noen parametere som karakteriserer de geometriske dimensjonene til boksen. For dette formålet vil vi supplere den materielle formuleringen av problemet med passende parametere. For dette formålet vil vi vurdere et firkantet emne laget av noe fleksibelt materiale, som har en sidelengde L (fig. 6). Fra dette emnet bør du kutte ut fire jevne firkanter med en side i hjørnene, og bøye den resulterende figuren slik at du får en boks uten toppdeksel. Oppgaven er å velge størrelsen på de kuttede rutene slik at resultatet blir en boks med maksimalt volum.

Ris. 6. Produksjonsdiagram fra et rektangulært emne som indikerer dimensjonene

For å formulere dette problemet matematisk, er det nødvendig å bestemme variablene for det tilsvarende optimaliseringsproblemet, angi objektivfunksjonen og spesifisere begrensninger. Som en variabel bør vi ta lengden på siden av den kuttede firkanten r, som i det generelle tilfellet, basert på den meningsfulle formuleringen av problemet, tar kontinuerlige reelle verdier. Den objektive funksjonen er volumet til den resulterende boksen. Siden lengden på siden av basen av boksen er lik: L - 2r, og høyden på boksen er lik r, blir volumet funnet av formelen: V (r) = (L -2r) 2 r. Basert på fysiske betraktninger kan ikke verdiene til variabelen r være negative og overstige halvparten av størrelsen på det originale arbeidsstykket L, dvs. 0,5 L.

For verdier på r = 0 og r = 0,5 L, er de tilsvarende løsningene på boksproblemet uttrykt. Faktisk, i det første tilfellet forblir arbeidsstykket uendret, men i det andre tilfellet kuttes det i 4 identiske deler. Siden disse løsningene har en fysisk tolkning, kan boksproblemet, for å gjøre det lettere å formulere og analysere det, betraktes som en optimalisering med begrensninger som ikke-strenge ulikheter.

For formålet med forening, betegner vi variabelen med x = r, som ikke påvirker arten av optimaliseringsproblemet som løses. Deretter kan den matematiske formuleringen av problemet med en boks med maksimalt volum skrives i følgende form:

hvor (1)

Den objektive funksjonen til dette problemet er ikke-lineær, så boksproblemet med maksimal størrelse tilhører klassen for ikke-lineær programmering eller ikke-lineære optimaliseringsproblemer.

2. Klassifisering av optimale kontrollmetoder

Prosessoptimalisering består i å finne det optimale for den aktuelle funksjonen eller de optimale betingelsene for å gjennomføre denne prosessen.

For å evaluere det optimale, er det først og fremst nødvendig å velge et optimaliseringskriterium. Vanligvis velges optimaliseringskriteriet fra spesifikke forhold. Dette kan være et teknologisk kriterium (for eksempel Cu-innhold i dumpeslagg) eller et økonomisk kriterium (minimumskostnad for et produkt ved en gitt arbeidsproduktivitet) etc. Basert på det valgte optimaliseringskriteriet sammenstilles en objektiv funksjon, som representerer optimaliseringskriteriets avhengighet av parametrene som påvirker verdien. Optimaliseringsproblemet kommer ned til å finne ytterpunktet til den objektive funksjonen. Avhengig av arten av de matematiske modellene som vurderes, blir ulike matematiske optimaliseringsmetoder tatt i bruk.

Den generelle formuleringen av optimaliseringsproblemet er som følger:

1. Velg et kriterium

2. Modellligningen er kompilert

3. Det pålegges et restriksjonssystem

4. Løsning

modell - lineær eller ikke-lineær

Begrensninger

Avhengig av modellens struktur brukes ulike optimaliseringsmetoder. Disse inkluderer:

1. Analytiske optimaliseringsmetoder (analytisk søk ​​etter ekstremum, Lagrange multiplikatormetode, Variasjonsmetoder)

2. Matematisk programmering (lineær programmering, dynamisk programmering)

3. Gradientmetoder.

4. Statistiske metoder (Regresjonsanalyse)

Lineær programmering. I lineære programmeringsproblemer presenteres optimalitetskriteriet som:

Modellligningene er lineære ligninger (polynomer) av formen som er underlagt begrensninger i form av likhet eller ulikhet, d.v.s. (2)

I lineære programmeringsoppgaver antas det vanligvis at alle uavhengige variabler X j er ikke-negative, dvs.

Den optimale løsningen på et lineært programmeringsproblem er et slikt sett med ikke-negative verdier av uavhengige variabler

Som tilfredsstiller vilkår (2) og gir, avhengig av problemformuleringen, kriteriets maks- eller minverdi.

Den geometriske tolkningen er: - kriterium i nærvær av begrensninger på variablene X 1 og X 2 av typen likheter og ulikheter

R har en konstant verdi langs linjen l. Den optimale løsningen vil være ved punkt S, fordi på dette tidspunktet vil kriteriet være maks. En av metodene for å løse optimaliseringsproblemet ved lineær programmering er simpleksmetoden.

Ikke-lineær programmering. Den matematiske formuleringen av det ikke-lineære programmeringsproblemet er som følger: Finn ytterpunktet til objektivfunksjonen , som har form av ikke-linearitet.

Ulike restriksjoner som likheter eller ulikheter pålegges uavhengige variabler

For tiden brukes et ganske stort antall metoder for å løse ikke-lineære programmeringsproblemer.

Disse inkluderer: 1) Gradientmetoder (gradientmetode, bratteste nedstigningsmetode, bildemetode, Rosenbrock-metode, etc.)

2) Gradientfrie metoder (Gauss-Seidel-metoden, skanningsmetoden).

Gradientoptimaliseringsmetoder

Disse metodene tilhører de numeriske metodene for søketypen. Essensen av disse metodene er å bestemme verdiene til uavhengige variabler som gir den største (minste) endringen i objektivfunksjonen. Dette oppnås vanligvis ved å bevege seg langs en gradient ortogonalt til konturoverflaten på et gitt punkt.

La oss vurdere gradientmetoden. Denne metoden bruker en gradient av objektivfunksjonen. I gradientmetoden tas skritt i retning av den raskeste nedgangen i objektivfunksjonen.

Ris. 8. Finne minimum ved hjelp av gradientmetoden

Søket etter det optimale utføres i to trinn:

Trinn 1: - finn verdiene av partielle deriverte for alle uavhengige variabler som bestemmer retningen til gradienten på det aktuelle punktet.

Trinn 2: - det tas et skritt i motsatt retning av gradientens retning, dvs. i retning av den raskeste nedgangen i objektivfunksjonen.

Gradientmetodealgoritmen kan skrives som følger:

(3)

Arten av bevegelsen til det optimale ved den bratteste nedstigningsmetoden er som følger (fig. 6.9), etter at gradienten til den optimaliserte funksjonen er funnet ved startpunktet og dermed retningen for dens raskeste nedgang på det angitte punktet er bestemt, et nedstigningssteg tas i denne retningen. Hvis verdien av funksjonen synker som et resultat av dette trinnet, tas et nytt trinn i samme retning, og så videre til et minimum er funnet i denne retningen, hvoretter gradienten beregnes igjen og en ny retning av den raskeste reduksjon av objektivfunksjonen bestemmes.

Gradientfrie metoder for å søke etter ekstremum. Disse metodene, i motsetning til gradientmetoder, bruker i søkeprosessen informasjon hentet ikke fra analyse av derivater, men fra en komparativ vurdering av verdien av optimalitetskriteriet som et resultat av å utføre neste trinn.

Gradientfrie metoder for å søke etter extremum inkluderer:

1. gyldent snitt metode

2. metode som bruker Fibonium-tall

3. Gaus-Seidel metode (metode for å oppnå en endring i en variabel)

4. skannemetode osv.

Ethvert automatisk system designet for å kontrollere ethvert objekt må bygges på en slik måte at kontrollen det utøver er optimal, det vil si den beste i en eller annen forstand. Optimale kontrollproblemer oppstår oftest i undersystemer for prosesskontroll. I hvert tilfelle er det en viss teknologisk oppgave som den tilsvarende maskinen eller installasjonen (kontrollobjekt), utstyrt med et passende kontrollsystem, er beregnet på, dvs. Vi snakker om et eller annet selvgående kontrollsystem, bestående av et kontrollobjekt og et sett med enheter som gir kontroll over dette objektet. Som regel inkluderer dette settet måle-, forsterknings-, konverterings- og aktiveringsenheter. Hvis vi kombinerer forsterkere, konvertere og aktivere enheter til en kobling, kalt en kontrollenhet eller regulator, kan funksjonsdiagrammet til ACS vises i fig. elleve.

Ris. 12 Funksjonsdiagram over det optimale systemet

Inngangen til kontrollenheten mottar en kommandohandling, som inneholder instruksjoner om hvordan tilstanden til objektet skal være - den såkalte "ønskede tilstanden".

Kontrollobjektet kan motta forstyrrende påvirkninger z, som representerer en belastning eller interferens. Måling av koordinatene til et objekt med et måleapparat kan utføres med noen tilfeldige feil x (feil).

Dermed er oppgaven til kontrollenheten å utvikle en slik kontrollhandling at driftskvaliteten til ACS som helhet vil være den beste i en viss forstand. For å bestemme algoritmen til kontrollenheten, er det nødvendig å kjenne egenskapene til objektet og arten av informasjon om objektet og forstyrrelser som kommer inn i kontrollenheten.

Egenskapene til et objekt betyr avhengigheten av utgangsverdiene til objektet på inngangen

hvor F, generelt, er en operatør som etablerer en korrespondanselov mellom to sett med funksjoner. Operatoren F for et objekt kan spesifiseres på forskjellige måter: ved hjelp av formler, tabeller, grafer. Det er også spesifisert i form av et system med differensialligninger, som i vektorform er skrevet som følger:

hvor start- og sluttverdiene til vektoren ble spesifisert.

Det er mange forskjellige måter å løse problemet under vurdering. Men bare én måte å kontrollere et objekt på gir det beste resultatet på en eller annen måte. Denne kontrollmetoden og systemet som implementerer den kalles optimal.

For å ha kvantitativt grunnlag for å foretrekke én forvaltningsmetode fremfor en annen, er det nødvendig å bestemme forvaltningsmålet, og deretter innføre et tiltak som karakteriserer effektiviteten av å nå målet – et kriterium for optimal styring. Typisk er optimalitetskriteriet en numerisk verdi som avhenger av at koordinatene og parametrene til systemet endres i tid og rom slik at hver kontrolllov tilsvarer en viss verdi av kriteriet. Ulike tekniske og økonomiske indikatorer for prosessen under vurdering kan velges som et optimalitetskriterium.

Noen ganger stilles det andre, noen ganger motstridende, krav til kontrollsystemet. Det er ingen kontrolllover som best tilfredsstiller hvert krav samtidig. Derfor, fra alle kravene, må du velge en hovedting som skal tilfredsstilles på best mulig måte. Andre krav fungerer som begrensninger. Følgelig bør valget av optimalitetskriterium gjøres kun på grunnlag av å studere teknologien og økonomien til det aktuelle objektet og miljøet. Denne oppgaven går utover omfanget av op-amp-teori.

Når man løser optimale kontrollproblemer, er det viktigste å sette kontrollmålet, som matematisk kan betraktes som problemet med å oppnå ekstremumet til en viss verdi Q - optimalitetskriteriet. I matematikk kalles en slik mengde en funksjonell. Avhengig av problemet som løses, er det nødvendig å oppnå minimum eller maksimum Q. La oss for eksempel skrive et optimalitetskriterium der Q skal være minimal

Som du kan se, avhenger verdien av Q av funksjonene.

Ulike tekniske og teknisk-økonomiske indikatorer og vurderinger kan tas som et optimalitetskriterium. Valg av optimalitetskriterium er et ingeniør- og ingeniørøkonomisk problem som løses på grunnlag av en dyp og omfattende studie av den kontrollerte prosessen. I kontrollteori er integrerte funksjoner som karakteriserer kvaliteten på systemfunksjonen mye brukt. Å oppnå maksimums- eller minimumsverdien til denne funksjonen indikerer den optimale oppførselen eller tilstanden til systemet. Integrerte funksjoner gjenspeiler vanligvis driftsforholdene til kontrollobjekter og tar hensyn til begrensninger (oppvarming, styrke, kraft til energikilder, etc.) pålagt koordinatene.

Følgende kriterier brukes for ledelsesprosesser:

1. optimal ytelse (overgangstid)

2. minimum rotmiddel-kvadrat-feilverdi.

3. minimum energiforbruk.

Dermed kan optimalitetskriteriet relatere seg til en overgangs- eller steady-state prosess i systemet.

Avhengig av optimalitetskriteriet kan optimale systemer deles inn i to hovedklasser - optimal i hastighet og optimal i nøyaktighet.

Optimale kontrollsystemer, avhengig av arten av optimalitetskriteriet, kan deles inn i tre typer:

a) jevnt optimale systemer;

b) statistisk optimale systemer;

c) minimaks-optimale systemer.

Ensartet optimal er et system der hver enkelt prosess er optimal. For eksempel, i systemer som er optimale når det gjelder hastighet, under alle startforhold og eventuelle forstyrrelser, kommer systemet med korteste vei i tid til ønsket tilstand.

I statistisk optimale systemer er optimalitetskriteriet statistisk av natur. Slike systemer bør være de beste i gjennomsnitt. Her er det ikke nødvendig eller mulig med optimalisering i hver enkelt prosess. Som et statistisk kriterium vises oftest gjennomsnittsverdien av et primært kriterium, for eksempel den matematiske forventningen om at en viss verdi går utover visse grenser.

Minimax-optimale systemer er systemer som i verste fall gir best mulig resultat. De skiller seg fra jevnt optimale ved at de i ikke-verste fall kan gi et dårligere resultat enn noe annet system.

Optimale systemer kan også deles inn i tre typer avhengig av metoden for å skaffe informasjon om det administrerte objektet:

optimale systemer med fullstendig informasjon om objektet;

optimale systemer med ufullstendig informasjon om objektet og dets passive akkumulering;

optimale systemer med ufullstendig informasjon om objektet og dets aktive akkumulering under kontrollprosessen (dobbelte kontrollsystemer).

Det er to typer optimale systemsynteseproblemer:

Bestemmelse av optimale verdier av kontrollerparametere for gitte objektparametere og gitt systemstruktur;

Syntese av strukturen og bestemmelse av kontrollerparametere med gitte parametere og struktur for kontrollobjektet.

Løsning av problemer av den første typen er mulig ved å bruke ulike analytiske metoder mens man minimerer integrale estimater, samt bruk av datateknologi (datamodellering), med tanke på et gitt optimalitetskriterium.

Løsningen av problemer av den andre typen er basert på bruk av spesielle metoder: metoder for klassisk variasjonsberegning, Pontryagins maksimumsprinsipp og Bellman dynamisk programmering, samt metoder for matematisk programmering. For å syntetisere optimale systemer med tilfeldige signaler brukes wienermetoder, variasjons- og frekvensmetoder. Når man utvikler adaptive systemer, er gradientmetoder mest brukt, slik at man kan bestemme lover og endringer i konfigurerbare parametere.

Materialet om optimal kontroll som presenteres her kombinerer teori og praksis om optimal kontroll. Før det ble skrevet og presentert, ble det laget ekte optimale systemer, hvis resultater fungerte som grunnlag for å lage kontrollerte systemer i EFFLY-designeren. Som studier har vist, er driften av optimale systemer opprettet i en programvaredesigner ikke fundamentalt forskjellig fra driften av systemer under reelle forhold.

Dette er gode nyheter fordi du nå kan øve, observere optimale systemer i aksjon og utforske prinsippene for optimal kontroll mens du sitter foran en dataskjerm. For dette formålet er her lenker til filer av eksisterende optimale systemer. Alt du trenger for å få tilgang til praksisen er Excel-miljøet.

Jeg vil være veldig takknemlig om du skriver noen ord om hva som må legges til, etter din mening, for å gjøre materialet mer tilgjengelig og nyttig, dvs. mer optimalt:-). Lenker for kommunikasjon er lenger ned i teksten.

1. Introduksjon

For å nå våre mål utfører vi et bredt spekter av operasjoner. Men i hverdagen tenker vi sjelden på hva som er laget for å utføre operasjonen og hvor effektivt den utføres. Det er en annen sak når lignende operasjoner utføres på regelmessig basis i form av en teknologisk prosess, og tempoet i utviklingen og konkurranseevnen til virksomheten avhenger av effektiviteten til slike operasjoner. I dette tilfellet bestreber vi oss på å sikre at operasjonene som utføres er så effektive som mulig, de beste, eller, hva også, optimal.

Optimalisering og optimal kontroll er veldig fasjonable og populære konsepter. Men jeg vil nok overraske deg veldig hvis jeg sier at om optimal kontroll, til tross for det utallige antallet publikasjoner i en lang rekke kilder, er det veldig lite informasjon av virkelig høy kvalitet. Vanligvis gjenfortelles noen figurative fraser om «ror», grunnleggende begreper om restriksjoner på kontrollprosessen og grenseløsheten til kontroller innenfor rammen av de pålagte restriksjonene. Det er også som regel mye snakk om optimale kontrollkriterier (som om det kunne være mange av dem). Og de gir til og med spesifikke uttrykk for optimaliseringskriterier som ingen har sjekket for tilstrekkelighet.

Kort sagt, optimal kontroll er en teknologisk prosess som består av mange operasjoner med slike parametere som på et visst tidspunkt vil sikre mottak av maksimalt målprodukt.

For å forstå hvilket målprodukt vi snakker om, må du få en ide om prosessfysikk og ham kybernetikk, og deretter forstå optimaliseringsprosessen.

2. Fysikk av generelle prosesser i produksjonssystemer

For å håndtere prinsipper for optimal kontroll, kan man ikke gjøre uten å forstå fysikken til prosessene som ligger til grunn for enhver teknologisk operasjon. Disse prinsippene er generelle, og etter å ha forstått dem ved å bruke eksemplet på en spesifikk prosess, kan du trygt bruke den ervervede kunnskapen, stole på en generalisert kybernetisk modell av aktuatoren for operasjonen.

Som et eksempel vil vi vurdere i detalj driften av oppvarming av en væske. Samtidig kan du gjennomføre dine egne undersøkelser samtidig hvis du har nødvendig enkelt utstyr og litt erfaring. Du kan også bruke observasjon av prosessene til et kontrollert varmesystem satt sammen i EFFLY-miljøet. Eller du kan ganske enkelt mestre materialet ved å analysere ferdige data vist i diagrammer.

Så vi må utføre flytende oppvarmingsoperasjoner i en syklus, og nå den optimale oppvarmingsmodusen. For å utføre oppvarmingsoperasjonen vil vi bruke en elektrisk varmeapparat - varmeelement, med en strømregulator. Varmeelementet senkes ned i en beholder med væske, og oppvarmingshastigheten avhenger av kraften som overføres til det elektriske apparatet.

Hva er essensen av ledelse i dette tilfellet? Alt er veldig enkelt.

Vi setter en viss strømforsyning og utfører oppvarmingen. Å sette strømregulatoren til en av de mulige posisjonene er kontroll. Derfor, avhengig av kontrollen, vil oppvarmingshastigheten, mengden strømforbruk og slitasjen på varmeelementets varmemekanisme endres (fig. 1-3).

Fig.1 Endring av energiforbruk for varmedrift fra kontroll

Saken er at ved lav oppvarmingshastighet klarer den oppvarmede væsken å frigjøre en stor mengde varme til miljøet. Jo høyere oppvarmingshastighet, desto lavere varmetapet. For prosesser med høy effektivitet av den teknologiske mekanismen er dette et typisk bilde. Hvorfor har varmeelementet høy effektivitet? Fordi den er nedsenket i en væske og nesten fullstendig gir fra seg energien til den (en liten del av energien går tapt i ledningene).

Fig.2 Endring i slitasje på varmedriftsmekanismen fra kontrollen

Dessuten, med økende produktivitet, øker slitasjen uforholdsmessig, men på en kraftlovlig måte. Koeffisienten for kraftfunksjonen til mekanismeslitasje på produktivitet bestemmes eksperimentelt. Generelt er det nødvendig å snakke om slitasjen til hver mekanisme i systemet.

Fig.3 Endring av oppvarmingsdriftstid fra kontrollen

Dermed tilsvarer hver kontroll sitt eget forbruk av energiproduktet, sin egen slitasje på driftsmekanismene og sin egen driftstid. Arten av endringene er nå tilgjengelig for oss. Det er faktisk alt du trenger å vite om fysikken i prosessen med å varme opp en væske med et varmeelement nedsenket i det, for å forstå essensen av de naturlige mekanismene som ligger til grunn.

optimale kontrollteknologier

Skriv til forfatteren.

3. Kybernetikk i produksjonssystemprosesser

Den andre klassen inkluderer vitenskaper som svarer på spørsmålet: "Hvorfor, eller til hvilket formål?" En fremtredende representant for denne klassen av vitenskaper er kybernetikk.

3.1 Oppdrag og formål med styring av produksjonssystemer

I prosessen med optimal kontroll løses to ganske uavhengige problemer, hvis løsning er ansvaret til to uavhengige strukturer i produksjonssystemet.

Den første oppgaven er å lage et produkt som har spesifiserte forbrukerkvaliteter. I vårt tilfelle er forbrukerproduktet til operasjonen den oppvarmede væsken. Generelt kan vi si at oppdraget til systemet er å skape et nyttig produkt med spesifiserte forbrukerkvaliteter. Et nyttig produkt skapes av et teknisk delsystem under kontroll av et teknologisk delsystem. Dette teknologiske delsystemet kalles ofte kontrollsystemet.

Men ingen vil lage et nyttig produkt for enhver pris. Derfor må parametrene til operasjonens inngangsprodukter, og følgelig parametrene til prosessen, velges slik at ekspertvurderingen av operasjonens inngangsprodukter er mindre enn ekspertvurderingen av operasjonens produksjonsprodukter. . I økonomiske systemer opererer de ikke med ekspertvurderinger, men med kostnadsmessige.

For eksempel må vi frakte last fra punkt A til punkt B. Til dette trenger vi et kjøretøy og et energiprodukt. Vi vil utføre operasjonen bevisst bare hvis kostnaden for et mer utslitt kjøretøy, gjenværende drivstoff og produkt i punkt B verdsettes av oss høyere enn et mindre utslitt kjøretøy, ubrukt drivstoff og last ved punkt A. Det vil si, vi kjemper for å øke forskjellen i kostnadsinnsats- og produksjonskarakterer.

Å maksimere forskjellen mellom ekspertestimater av produksjons- og inputproduktene fra syklusen med kontrollerte operasjoner er ledelsens mål (dette er den andre ledelsesoppgaven), og selve forskjellen er målprodukt. Ansvarlig for å maksimere verdien av målproduktet i produksjonssystemet optimaliseringsdelsystem.

Vær oppmerksom på at dette handler om syklus av operasjoner(prosess), ikke om separat operasjon. Vi kommer tilbake til dette punktet litt senere, men foreløpig snakker vi om hvordan vi kan gå fra naturlige indikatorer for input- og outputprodukter til sammenlignbare indikatorer.

3.2 Reduksjon av kvantitative parametere for transaksjonsprodukter til sammenlignbare verdier

Å utføre enhver operasjon krever visse investeringer fra oss. For drift av oppvarming av en væske trenger vi selve delen av kald væske, bestemt av mengden energi, og en del av ressursen til mekanismen, som vil bli utslitt under operasjonen. Vi vurderer bidraget til hvert av disse produktene til driften forskjellig. Denne vurderingen er knyttet til begrepet ekspertvurdering av produktet av operasjonen, som kommer til uttrykk gjennom en ekspertvurdering av en produktenhet og dens kvantitative vurdering. Siden varmesystemet kan betraktes som et teknisk og økonomisk system, vil vi bruke det mer kjente økonomiske begrepet "kostnadsvurdering", i stedet for det kybernetiske begrepet "ekspertvurdering".

I det generelle tilfellet bestemmes verdsettelsen av et hvilket som helst inngangsprodukt av operasjonen fra uttrykket RE i =RS i ·RQ i, hvor RQ i er mengden av det i-te produktet av operasjonen; RS i er enhetskostnaden for det i-te produktet av operasjonen; RE i er verdsettelsen av det i-te produktet av driftsproduktet.

Så for operasjonen bruker vi 1 kubikkmeter væske. La oss anta at kostnadsestimatet for en kubikkmeter væske er 0,8 denier. enheter Da vil kostnadsestimatet for en kubikkmeter væske være lik RE cw =RQ cw ·RS cw =1·0.8=0.8 monetære enheter, der RQ cw er volumet av væske som kreves for operasjonen; RS cw - kostnadsestimat for en kube væske; RE cw – kostnadsestimat av væskevolumet i operasjonen.

Siden volumet av kald væske som kreves for neste operasjon ikke endres fra kontrollen, vil grafen for kostnadsvurderingen av væsken avhengig av kontrollen RE cw (U) se ut som en horisontal rett linje (fig. 4).

Forbruket av energiproduktet varierer fra drift til drift, så kostnadsestimatet på energiforbruket vil også endre seg fra drift til drift. Forutsatt at en kWh. strøm koster 0,3 den. enheter, er det mulig å få avhengigheten av endringen i energikostnadene RE e av kontroll U, hvor RE e (U) er kostnadsestimatet for energien som forbrukes av operasjonen på kontroll (fig. 4).

Det gjenstår å bestemme endringen i ressurstap til driftsmekanismen fra ledelsen i sammenlignbare kostnadsverdier (RE w (U)), under hensyntagen til at enheten for ressurstap er estimert til 3 monetære enheter. (Fig. 4).

Nå, siden alle inngangsprodukter av operasjonen er uttrykt i sammenlignbare kostnadsverdier, kan man for hver kontroll bestemme én verdi av de totale kostnadskostnadene RE=RE cw +RE e +RE w (fig. 5).

På samme diagram er det praktisk å presentere avhengigheten av kostnadsestimatet for den oppvarmede væsken på kontrollen PE(U) og driftstiden på kontrollen T op (U) på tilleggsaksen.

Energiproduktet, selve den kalde væsken og varmemekanismen er av ganske bestemt verdi for oss. Derfor vil vi utføre flytende oppvarmingsoperasjoner bare hvis ekspertvurderingen av innsatsproduktene til operasjonen er mindre enn ekspertvurderingen av det resulterende produktet av operasjonen. I dette tilfellet vil vi anta at kostnaden for en kube med oppvarmet væske er estimert til PS = 55 monetære enheter.

Vær oppmerksom på at de grunnleggende indikatorene RE, PE og T op er kybernetiske, siden de kan oppnås for enhver operasjon, uavhengig av prosessens art og type kontrollert system. Etter å ha konstruert funksjonene RE(U), PE(U) og Top(U), har vi tatt enda et skritt mot å avsløre essensen optimal kontroll.

Hvilke vanskeligheter fant du med å forstå materialet? optimale kontrollteknologier

3.3 Kriterium for optimal kontroll av produksjonssystemer

Nå som vi forstår at det tekniske delsystemet er ansvarlig for prosessen med å transformere inngangsprodukter, det teknologiske delsystemet er ansvarlig for kvaliteten på det resulterende produktet, og optimaliseringsundersystemet er ansvarlig for å maksimere målproduktet, kan vi nærme oss spørsmålet om å velge det optimale alternativet.

La oss anta at vi har to alternativer for å velge kontrollparametere. La oss anta at ved å sette det første settet med kontrollparametere, får vi syklisk gjentatte operasjoner med følgende grunnleggende indikatorer: RE=4 dager. enheter, PE=7 monetære enheter, T op =7 timer (fig. 6).

Hvordan foregår prosessen med å nå et mål? Øvre venstre rektangel er kostnadsestimatet for operasjonens ressurser. Vi har 10 pengeenheter av slike ressurser. Siden operasjonen krever ressurser på 4 pengeenheter, overføres denne mengden ressurser for å utføre den første operasjonen, som er indikert med pil nummer 1.

Operasjonen tar 7 timer å gjennomføre, og vi har antatt at verdien av produktene fra operasjonen er 7 enheter. Siden den andre operasjonen igjen krever fire ressursenheter, blir de resterende tre overført til lageret til målproduktet.

I syklusen utfører vi tre operasjoner, hvoretter vi kan bestemme den absolutte verdien av målproduktet for operasjonen. Dette er 16 enheter. etter 21 timers arbeid.

Nå endrer vi kontrollen og får en syklus av operasjoner med nye grunnleggende indikatorer: RE=5 den. enheter, PE=7 monetære enheter, Topp=3 timer (fig. 7).

Økningen i målproduktet under en operasjon er mindre her - 2 monetære enheter. Imidlertid er operasjonstiden også kortere. Som du kan se, mot slutten av den siste operasjonen, etter 21 timer, vil vi motta 19 monetære enheter. målprodukt.

Det vil si at hvis vi bare har to alternativer for å gjennomføre operasjoner, er det andre alternativet å foretrekke. Derfor er kontroll i henhold til det andre alternativet optimal kontroll.

Spørsmålet oppstår: "Hvordan, uten å utføre operasjoner i en syklus, kan du umiddelbart bestemme hvilken operasjon som er mer lønnsom, og følgelig bestemme parametrene for optimal kontroll?"

Dette krever en ytelsesindikator som kan brukes som et optimaliseringskriterium.

I dette tilfellet kan du bruke en enkel effektivitetsformel, som er et analytisk uttrykk for å beregne enkle operasjoner. Det er hun som forbinder tre grunnleggende indikatorer med hverandre: verdsettelsen av innsatsproduktene til operasjonen (RE), verdsettelsen av operasjonens produksjonsprodukter (PE) og driftstiden (T op). Hvis vi betegner effektivitet med symbolet "E", vil formelen for beregning av effektivitetsindikatoren se ut

hvor T p er en enhetstidsintervall, hvis bruksbehov vurderes i effektivitetsteorien.

Ved å erstatte verdiene til de grunnleggende operasjonsindikatorene i effektivitetsformelen, får vi verdien E = 0,00656 for den første operasjonen og E = 0,0127 for den andre operasjonen.

Som vi kan se, indikerte effektivitetsindikatoren umiddelbart at den andre typen operasjoner er å foretrekke fremfor operasjoner av den første typen. Derfor er den gitte indikatoren et optimaliseringskriterium.

Figur 8 viser hvordan effektivitet endres med endringer i kontroll. Parametrene som tilsvarer maksimal effektivitet er uthevet i rødt.

Fig. 8 Prosessen med å danne målproduktet for den andre kontrollen

Nå kan vi faktisk svare på spørsmålet om hva optimal kontroll er.
Optimal kontroll er en prosess som sikrer maksimering av målproduktet under syklisk utførelse av systemoperasjoner.
Valget av slik kontroll gir optimaliseringskriterium.

Som du kan se, i produksjonssystemer er det mulig å nå den optimale modusen basert på den absolutte indikatoren - den maksimale økningen i økonomisk potensial, men denne prosessen tar mye tid.

Det kan se ut til at problemet med å nå det optimale kan løses uten et optimaliseringskriterium - gjennom matematisk modellering, ved å bruke resultatene fra én operasjon. Påvirkning av sensorfeil fører imidlertid til svært store avvik fra det optimale punktet.

Hvilke vanskeligheter fant du med å forstå materialet? optimale kontrollteknologier

For å se på driften av det optimale systemet, må du laste selve det optimale systemet, satt sammen i EFFLY-konstruktøren. Du kan finne ut hvordan du får systemet til å jobbe hardere.

Etter å ha klikket på "Start"-knappen, åpnes et ark hvor grafer for søk etter systemoptimal vil vises. Det første punktet vises om et par minutter, siden det kreves flere operasjoner for å nå det. Vi må vente litt.