Comparação de funções para uma determinada aspiração. Comparação de funções infinitesimais e infinitamente grandes

O que são infinitas pequenas funções

No entanto, uma função só pode ser infinitesimal num ponto específico. Conforme mostrado na Figura 1, a função é infinitesimal apenas no ponto 0.

Figura 1. Função Infinitesimal

Se o limite do quociente de duas funções resultar em 1, as funções são consideradas infinitesimais equivalentes, pois x tende a apontar a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definição

Se as funções f(x), g(x) são infinitesimais para $x > a$, então:

Uma função f(x) é chamada de infinitesimal de ordem superior em relação a g(x) se a seguinte condição for satisfeita:
Uma função f(x) é chamada infinitesimal de ordem n em relação a g(x) se for diferente de 0 e o limite for finito:

Exemplo 1

A função $y=x^3$ é infinitesimal de ordem superior para x>0, em comparação com a função y=5x, já que o limite de sua razão é 0, isso é explicado pelo fato de que a função $y=x ^3$ tende a zerar o valor mais rápido:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

Exemplo 2

As funções y=x2-4 e y=x2-5x+6 são infinitesimais da mesma ordem para x>2, pois o limite de sua razão não é igual a 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ para 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Propriedades de infinitesimais equivalentes

A diferença entre dois infinitesimais equivalentes é um infinitesimal de ordem superior em relação a cada um deles.
Se da soma de vários infinitesimais de ordens diferentes descartarmos os infinitesimais de ordens superiores, então a parte restante, chamada de parte principal, equivale à soma inteira.

Da primeira propriedade segue-se que infinitesimais equivalentes podem tornar-se aproximadamente iguais com um erro relativo arbitrariamente pequeno. Portanto, o sinal ≈ é usado tanto para denotar a equivalência de infinitesimais quanto para escrever a igualdade aproximada de seus valores suficientemente pequenos.

Ao encontrar limites, muitas vezes é necessário utilizar a substituição de funções equivalentes para rapidez e comodidade dos cálculos. A tabela de infinitesimais equivalentes é apresentada a seguir (Tabela 1).

A equivalência dos infinitesimais dados na tabela pode ser provada com base na igualdade:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabela 1

Exemplo 3

Vamos provar a equivalência do infinitesimal ln(1+x) e x.

Prova:

Vamos encontrar o limite da proporção de quantidades
Para fazer isso, aplicamos a propriedade do logaritmo:
Sabendo que a função logarítmica é contínua em seu domínio de definição, podemos trocar o sinal do limite e da função logarítmica:
Como x é uma quantidade infinitesimal, o limite tende a 0. Isso significa:

(aplicado o segundo limite maravilhoso)

O que são infinitas pequenas funções

No entanto, uma função só pode ser infinitesimal num ponto específico. Conforme mostrado na Figura 1, a função é infinitesimal apenas no ponto 0.

Figura 1. Função Infinitesimal

Se o limite do quociente de duas funções resultar em 1, as funções são consideradas infinitesimais equivalentes, pois x tende a apontar a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definição

Se as funções f(x), g(x) são infinitesimais para $x > a$, então:

Uma função f(x) é chamada de infinitesimal de ordem superior em relação a g(x) se a seguinte condição for satisfeita:
Uma função f(x) é chamada infinitesimal de ordem n em relação a g(x) se for diferente de 0 e o limite for finito:

Exemplo 1

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

Exemplo 2

As funções y=x2-4 e y=x2-5x+6 são infinitesimais da mesma ordem para x>2, pois o limite de sua razão não é igual a 0:

Propriedades de infinitesimais equivalentes

A diferença entre dois infinitesimais equivalentes é um infinitesimal de ordem superior em relação a cada um deles.
Se da soma de vários infinitesimais de ordens diferentes descartarmos os infinitesimais de ordens superiores, então a parte restante, chamada de parte principal, equivale à soma inteira.

A equivalência dos infinitesimais dados na tabela pode ser provada com base na igualdade:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabela 1

Exemplo 3

Vamos provar a equivalência do infinitesimal ln(1+x) e x.

Prova:

Vamos encontrar o limite da proporção de quantidades
Para fazer isso, aplicamos a propriedade do logaritmo:
Sabendo que a função logarítmica é contínua em seu domínio de definição, podemos trocar o sinal do limite e da função logarítmica:
Como x é uma quantidade infinitesimal, o limite tende a 0. Isso significa:

(aplicado o segundo limite maravilhoso)

Deixar um(x) E b(x) – b.m. funções em x® um (x® + ¥, x® –¥, x® x 0,…). Consideremos o limite de sua razão em x® um.

1. Se = b E b– número final, b¹ 0, então as funções um(x), b(x) são chamados de infinitesimais uma ordem de pequenez no x® um.

2. Se = 0, então um(x) é chamado de infinitesimal ordem superior , como b(x) no x® um. Obviamente, neste caso = ¥.

3. Se um(x) – b.m. ordem superior a b(x) e = b¹ 0 ( b– número final, kÎ N ), Que um(x) é chamado de infinitesimal k-ésima ordem, em comparação com b(x) no x® um.

4. Se não existe (nem finito nem infinito), então um(x), b(x) são chamados incomparável b.m. no x® um.

5. Se = 1, então um(x), b(x) são chamados equivalente b.m. no x® um, que é denotado da seguinte forma: um(x) ~ b(x) no x® um.

Exemplo 1. um(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

É óbvio que quando x® 1 funções um(x), b(x) são b.m. Para compará-los, vamos encontrar o limite de sua razão em x®1:

Conclusão: um(x b(x) no x® 1.

É fácil verificar que = (certifique-se!), de onde se segue que um(x) – b.m. 3ª ordem de pequenez, em comparação com b(x) no x® 1.

Exemplo 2. Funções um 1 (x) = 4x, um 2 (x) = x 2 , um 3 (x) = pecado x, um 4 (x) = tg x são infinitesimais em x® 0. Vamos compará-los:

0, , = 1, = ¥.

Disto concluímos que um 2 (x) = x 2 – da manhã ordem superior, em comparação com um 1 (x) E um 3 (x) (no x® 0), um 1 (x) E um 3 (x) – b.m. mesma ordem um 3 (x) E um 4 (x) – equivalente b.m., ou seja, pecado x~tg x no x® 0.

Teorema 1. Deixar um(x) ~ um 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) no x® um. Se existir, então ambos e = existem.

Prova. = 1, = 1,

= = .

Este teorema torna mais fácil encontrar limites.

Exemplo 3.

Encontrar .

Devido ao primeiro limite notável sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x no x® 0, portanto

Teorema 2. Funções infinitesimais um(x) E b(x) são equivalentes (com x® um) se e somente se um(x) – b(x) é b.m. ordem superior, em comparação com um(x) E b(x) (no x® um).

Prova

Deixar um(x) ~ b(x) no x® um. Então = = 0, ou seja diferença um(x) – b(x um(x) em em x® um(semelhante a b(x)).

Deixar um(x) – b(x) – b.m. ordem superior, em comparação com um(x) E b(x), mostraremos que um(x) ~ b(x) no x® um:

= = + = 1,

Como foi mostrado, a soma, a diferença e o produto das funções infinitesimais são infinitesimais, mas o mesmo não se pode dizer do particular: dividir um infinitesimal por outro pode dar resultados diferentes.

Por exemplo, se a(x) = 2x, p(x) = 3x, então

Se a(x) = x 2, P (l;) = x 3, então

É aconselhável introduzir regras para comparação de funções infinitesimais usando terminologia apropriada.

Deixe em X -» UM as funções a(x) e p(.v) são infinitesimais. Em seguida, distinguem-se as seguintes opções para sua comparação, dependendo do valor Com limite em um ponto UM o relacionamento deles:

1. Se Com= I, então a(x) e P(x) são infinitesimais equivalentes: a(x) - p(x).
2. Se Com= 0, então a(x) é um infinitesimal de ordem superior a p(x) (ou tem uma ordem superior de pequenez).
3. Se Com = e* 0 (d- número), então Oh) e P(x) são infinitesimais da mesma ordem.

Muitas vezes não é suficiente saber que um infinitesimal em relação a outro é um infinitesimal de uma ordem superior de pequenez; é preciso também estimar a magnitude desta ordem; Portanto a seguinte regra é usada.

4. Se mm - - =d*0, então a(x) é um infinitesimal de l-ésima ordem em relação a - *->lp"(*)

literalmente P(x). Neste caso, use o símbolo o "o" pequeno"): a(x) = o(P(x)).

Observe que regras semelhantes para comparar funções infinitesimais para x -»oo são válidas, X-" -oo, X-> +«>, bem como no caso de limites unilaterais em x -» UM esquerda e direita.

Uma propriedade importante segue das regras de comparação:

então existe um limite 1, e ambos os limites são iguais.

Em vários casos, a declaração comprovada simplifica o cálculo dos limites e a realização de estimativas.

Vejamos alguns exemplos.

1. Funções do pecado X E X no X-» 0 são equivalentes a infinitesimais devido ao limite (8.11), ou seja, no X -> 0 pecado X ~ X.

Na verdade, temos:

2. Funções do pecado kh e pecado X estão em q: -> 0 infinitesimais da mesma ordem, pois
3. Função a(x) = cos ah- porque bx (uma*b) está em X-» 0 infinitesimal de segunda ordem de pequenez em relação a infinitesimal.v, uma vez que

Exemplo 7. Encontre lim

*-+° x + x"

Solução. Desde o pecado kh ~ kh E X + x 2 ~ X:

Comparação de funções infinitamente grandes

Para funções infinitamente grandes, regras de comparação semelhantes também se aplicam, com a única diferença de que para elas, em vez do termo “ordem de pequenez”, é usado o termo “ordem de crescimento”.

Expliquemos o que foi dito com exemplos.

1. Funções f(x) = (2 + x)/x e g(x) = 2/x no X-» 0 são equivalentes a infinitamente grandes, pois

Dados de função /(X) e #(*) têm a mesma ordem de crescimento.

2. Vamos comparar as ordens de crescimento das funções f(x) = 2x?+Eu e g(x)=x3 + X no X-> por que encontrar o limite de sua proporção:

Segue-se que a função g(x) tem uma ordem de crescimento superior à função / (x).

3. Funções infinitamente grandes para x -» °o /(x) = 3x 3 + X e #(x) = x 3 - 4x 2 têm a mesma ordem de crescimento, pois

4. A função /(x) = x 3 + 2x + 3 é infinitamente grande para x -»

terceira ordem em relação a uma função infinitamente grande g(x) = x - eu, já que

Teste

Disciplina: Matemática Superior

Tópico: Limites. Comparação de quantidades infinitesimais

1. Limite de uma sequência numérica

2. Limite de função

3. O segundo limite maravilhoso

4. Comparação de quantidades infinitesimais

Literatura

1. Limite de uma sequência numérica

A solução de muitos problemas matemáticos e aplicados leva a uma sequência de números especificados de uma determinada maneira. Vamos descobrir algumas de suas propriedades.

Definição 1.1. Se para todo número natural

de acordo com alguma lei, um número real é atribuído, então o conjunto de números é chamado de sequência numérica.

Com base na Definição 1, fica claro que uma sequência numérica sempre contém um número infinito de elementos. O estudo de várias sequências numéricas mostra que à medida que o número aumenta, seus membros se comportam de maneira diferente. Eles podem aumentar ou diminuir indefinidamente, podem aproximar-se constantemente de um determinado número ou podem não apresentar nenhum padrão.

Definição 1.2. Número

é chamado de limite de uma sequência numérica se para qualquer número houver um número de uma sequência numérica dependendo da condição que está sendo satisfeita para todos os números da sequência numérica.

Uma sequência que tem um limite é chamada convergente. Neste caso eles escrevem

Obviamente, para esclarecer a questão da convergência de uma sequência numérica, é necessário um critério que se baseie apenas nas propriedades de seus elementos.

Teorema 1.1.(Teorema de Cauchy sobre a convergência de uma sequência numérica). Para que uma sequência numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para qualquer número

existia um número de sequência numérica dependendo de, de modo que, para quaisquer dois números de uma sequência numérica e que satisfizessem a condição e, a desigualdade seria verdadeira.

Prova. Necessidade. Dado que a sequência numérica

converge, o que significa que, de acordo com a Definição 2, tem um limite. Vamos escolher algum número. Então, pela definição do limite de uma sequência numérica, existe um número tal que a desigualdade vale para todos os números. Mas já que é arbitrário, e será cumprido. Vamos pegar dois números de sequência e, então.

Segue-se que

, ou seja, a necessidade foi comprovada.

Adequação. É dado que

. Isso significa que existe um número tal que para uma determinada condição e. Em particular, se, e, então ou desde que. Isso significa que a sequência numérica é limitada. Portanto, pelo menos uma de suas subsequências deve convergir. Deixar . Vamos provar que converge para também.

Vamos tomar um arbitrário

. Então, de acordo com a definição de limite, existe um número tal que a desigualdade vale para todos. Por outro lado, por condição é dado que a sequência possui um número tal que a condição será satisfeita para todos. e consertar alguns. Então para todos obtemos: .

Segue-se que