Eșantioane și intervale de încredere. Construirea unui interval de încredere pentru așteptarea matematică a populației generale Formula probabilității de încredere
Actualizat: 3 martie 2020
Exemplu de fișierSă construim un interval de încredere în MS EXCEL pentru a estima valoarea medie a distribuției în caz valoare cunoscută variaţiile.
Desigur alegerea nivelul de încredere depinde complet de problema rezolvată. Astfel, gradul de încredere al unui pasager aerian în fiabilitatea unui avion ar trebui, fără îndoială, să fie mai mare decât gradul de încredere al unui cumpărător în fiabilitatea unui bec electric.
Formularea problemei
Să presupunem că de la populatie fiind luate eşantion marimea n. Se presupune că abaterea standard această distribuţie este cunoscută. Este necesar pe baza acestui lucru mostre evalua necunoscutul mijloc de distribuție(μ, ) și construiți corespunzătoare faţă-versointerval de încredere .
Estimare punctuală
După cum se știe din statistici(să o notăm medie X) este estimare imparțială a mediei acest populatieși are o distribuție N(μ;σ 2 /n).
Nota : Ce să faci dacă trebuie să construiești interval de încredereîn cazul unei distribuţii care nu estenormal?În acest caz, vine în ajutor, care afirmă că cu o dimensiune suficient de mare mostre n din distribuție nefiindnormal , distribuția eșantionului de statistici X avg voinţă aproximativ corespund distributie normala cu parametrii N(μ;σ 2 /n).
Aşa, estimare punctualămedievalorile de distribuție avem - asta eșantion mediu, adică medie X. Acum să începem interval de încredere.
Construirea unui interval de încredere
De obicei, cunoscând distribuția și parametrii acesteia, putem calcula probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare din intervalul pe care îl specificăm. Acum să facem invers: găsiți intervalul în care variabila aleatoare va cădea cu o probabilitate dată. De exemplu, din proprietăți distributie normala se ştie că, cu o probabilitate de 95%, o variabilă aleatoare distribuită peste legea normală, se va încadra în intervalul de aproximativ +/- 2 de la valoare medie(vezi articolul despre). Acest interval ne va servi drept prototip interval de încredere .
Acum să vedem dacă știm distribuția , pentru a calcula acest interval? Pentru a răspunde la întrebare, trebuie să indicăm forma distribuției și parametrii acesteia.
Cunoaștem forma de distribuție - aceasta este distributie normala(rețineți că vorbim despre distribuția eșantionăriistatisticimedie X).
Parametrul μ ne este necunoscut (trebuie doar estimat folosind interval de încredere), dar avem o estimare a acesteia medie X, calculat pe baza mostre, care poate fi folosit.
Al doilea parametru - abaterea standard a mediei eșantionuluiîl vom considera cunoscut, este egal cu σ/√n.
Deoarece nu știm μ, atunci vom construi intervalul +/- 2 abateri standard nu de la valoare medie, și din estimarea sa cunoscută medie X. Aceste. la calcul interval de încredere NU vom presupune că medie X se încadrează în intervalul +/- 2 abateri standard de la μ cu o probabilitate de 95% și vom presupune că intervalul este +/- 2 abateri standard din medie X cu 95% probabilitate va acoperi μ – media populației generale, din care a fost luat eşantion. Aceste două afirmații sunt echivalente, dar a doua declarație ne permite să construim interval de încredere .
În plus, să clarificăm intervalul: o variabilă aleatoare distribuită peste legea normală, cu o probabilitate de 95% se încadrează în intervalul +/- 1.960 abateri standard, nu +/- 2 abateri standard. Aceasta poate fi calculată folosind formula =NORM.ST.REV((1+0,95)/2), cm. fișier exemplu Sheet Interval .
Acum putem formula o afirmație probabilistică care ne va servi să formăm interval de încredere: „Probabilitatea ca media populatiei situat din medie a probeiîn termen de 1.960" abaterile standard ale mediei eșantionului", egal cu 95%”.
Valoarea probabilității menționată în declarație are o denumire specială , care este asociat cu nivelul de semnificație α (alfa) printr-o expresie simplă nivelul de încredere = 1 -α . În cazul nostru nivelul de semnificație α =1-0,95=0,05 .
Acum, pe baza acestei afirmații probabilistice, scriem o expresie pentru calcul interval de încredere :
unde Z α/2 – standarddistributie normala(această valoare a variabilei aleatoare z , Ce P (z >= Z α/2 )=α/2).
Nota : α/2-quantila superioară definește lățimea interval de încredere V abateri standardeșantion mediu. α/2-quantila superioară standarddistributie normalaîntotdeauna mai mare decât 0, ceea ce este foarte convenabil.
În cazul nostru, cu α=0,05, α/2-quantila superioară este egal cu 1.960. Pentru alte niveluri de semnificație α (10%; 1%) α/2-quantila superioarăZ α/2 poate fi calculat folosind formula =NORM.ST.REV(1-α/2) sau, dacă se cunoaște nivelul de încredere , =NORM.ST.OBR((1+nivel de încredere)/2) .
De obicei, la construirea intervale de încredere pentru estimarea mediei utilizați numai α superioară /2- cuantilă si nu folositi mai mic α /2- cuantilă. Acest lucru este posibil pentru că standarddistributie normala simetric fata de axa x ( densitatea sa de distribuție simetric despre medie, adică 0) . Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze α/2-cuantilă mai mică(se numește pur și simplu α /2-quantila), pentru că este egal α superioară /2- cuantilă cu semnul minus.
Să ne amintim că, în ciuda formei distribuției valorii x, variabila aleatoare corespunzătoare medie X distribuite aproximativAmenda N(μ;σ 2 /n) (vezi articolul despre). Prin urmare, în general, expresia de mai sus pentru interval de încredere este doar o aproximare. Dacă valoarea x este distribuită peste legea normală N(μ;σ 2 /n), apoi expresia pentru interval de încredere este exactă.
Calcul intervalului de încredere în MS EXCEL
Să rezolvăm problema. Timpul de răspuns al unei componente electronice la un semnal de intrare este o caracteristică importantă a dispozitivului. Un inginer dorește să construiască un interval de încredere pentru timpul mediu de răspuns la un nivel de încredere de 95%. Din experiența anterioară, inginerul știe că abaterea standard a timpului de răspuns este de 8 ms. Se știe că pentru a evalua timpul de răspuns, inginerul a făcut 25 de măsurători, valoarea medie a fost de 78 ms.
Soluţie: Inginerul vrea să știe timpul de răspuns dispozitiv electronic, dar înțelege că timpul de răspuns nu este o valoare fixă, ci o variabilă aleatorie care are propria sa distribuție. Deci, cel mai bun lucru la care poate spera este să determine parametrii și forma acestei distribuții.
Din păcate, din condițiile problemei nu cunoaștem forma distribuției timpului de răspuns (nu trebuie să fie normal). abaterea standard, această distribuție este de asemenea necunoscută. Numai el este cunoscut interval de încredere .
σ=8. Prin urmare, în timp ce nu putem calcula probabilitățile și construi Cu toate acestea, în ciuda faptului că nu cunoaștem distribuțiatimp răspuns separat , știm că conform , CPTdistribuția eșantionării timpul mediu de răspuns normal este de aproximativ , știm că conform(vom presupune că condițiile mostre sunt efectuate, deoarece dimensiune .
destul de mare (n=25)) În plus, medie această distribuţie este egală cu valoare medie abaterea standard distribuția unui singur răspuns, de ex. μ. O
a acestei distribuții (σ/√n) poate fi calculată folosind formula =8/ROOT(25) . estimare punctuală De asemenea, se știe că inginerul a primit parametrul μ egal cu 78 ms (X avg). Prin urmare, acum putem calcula probabilități, deoarece cunoaștem forma de distribuție ( normal
) și parametrii săi (X avg și σ/√n). Inginerul vrea să știe așteptări matematice μ distribuțiile timpului de răspuns. După cum sa menționat mai sus, acest μ este egal cu așteptarea matematică a distribuției eșantionului a timpului mediu de răspuns . Dacă folosim distributie normala
N(Х avg; σ/√n), atunci μ dorit va fi în intervalul +/-2*σ/√n cu o probabilitate de aproximativ 95%. Nivel de semnificație
este egal cu 1-0,95=0,05. interval de încredereÎn cele din urmă, să găsim chenarul din stânga și din dreapta . Chenarul din stânga: = 74,864 =78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) Chenarul din dreapta:
=78+NORM.ST.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136 Chenarul din stânga:=78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
=NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25)) : interval de încredere Răspuns Nivel de încredere de 95% și σ =8 msec egal 78+/-3,136 ms.
ÎN exemplu de fișier pe foaia Sigma cunoscut, a creat o formă de calcul și construcție faţă-versointerval de încredere pentru arbitrar mostre cu σ dat și nivelul de semnificație .
Funcția CONFIDENCE.NORM().
Dacă valorile mostre sunt în gamă B20:B79 , A nivelul de semnificație egal cu 0,05; apoi formula MS EXCEL: =MEDIE(B20:B79)-ÎNCREDERE.NORMĂ(0,05;σ; NUMĂRĂ (B20:B79)) va întoarce marginea stângă interval de încredere .
Aceeași limită poate fi calculată folosind formula: =AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))
Nota: Funcția CONFIDENCE.NORM() a apărut în MS EXCEL 2010. În versiunile anterioare ale MS EXCEL, a fost folosită funcția TRUST().
Interval de încredere– valorile limită ale unei mărimi statistice care, cu o probabilitate de încredere dată γ, se vor afla în acest interval la eșantionarea unui volum mai mare. Notat cu P(θ - ε. În practică, probabilitatea de încredere γ este aleasă dintre valori destul de apropiate de unitate: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.Scopul serviciului. Folosind acest serviciu, puteți determina:
- interval de încredere pentru media generală, interval de încredere pentru varianță;
- interval de încredere pentru abaterea standard, interval de încredere pentru cota generală;
Exemplul nr. 1. Într-o fermă colectivă, dintr-un efectiv total de 1000 de oi, 100 de oi au fost tunse cu control selectiv. Ca urmare, s-a stabilit o tăiere medie a lânii de 4,2 kg per oaie. Determinați cu o probabilitate de 0,99 eroarea pătratică medie a eșantionului atunci când se determină forfecarea medie a lânii per oaie și limitele în care este conținută valoarea forfeței dacă varianța este 2,5. Eșantionul este nerepetitiv.
Exemplul nr. 2. Dintr-un lot de produse importate de la postul Vamalului de Nord din Moscova, 20 de mostre de produs „A” au fost prelevate prin prelevare repetă aleatorie. În urma testului, a fost stabilit conținutul mediu de umiditate al produsului „A” din probă, care s-a dovedit a fi egal cu 6% cu o abatere standard de 1%.
Determinați cu probabilitate 0,683 limitele conținutului mediu de umiditate al produsului în întregul lot de produse importate.
Exemplul nr. 3. Un sondaj efectuat pe 36 de studenți a arătat că numărul mediu de manuale citite de aceștia în cursul anului universitar a fost egal cu 6. Presupunând că numărul de manuale citite de un student pe semestru are o lege de distribuție normală cu o abatere standard egală cu 6, găsiți : A) cu o fiabilitate de 0,99 estimare de interval pentru așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare; B) cu ce probabilitate putem spune că numărul mediu de manuale citite de un student pe semestru, calculat din acest eșantion, se va abate de la așteptarea matematică în valoare absolută cu cel mult 2.
Clasificarea intervalelor de încredere
După tipul de parametru evaluat:
După tipul de eșantion:
- Interval de încredere pentru un eșantion infinit;
- Interval de încredere pentru eșantionul final;
Calculul erorii medii de eșantionare pentru eșantionarea aleatorie
Discrepanța dintre valorile indicatorilor obținuți din eșantion și parametrii corespunzători ai populației generale se numește eroare de reprezentativitate.Desemnări ale parametrilor principali ai populațiilor generale și eșantionului.
| Formule de eroare medie de eșantionare | |||
| re-selectare | selecție nerepetitivă | ||
| pentru medie | pentru împărțire | pentru medie | pentru împărțire |
 |
|||
Formule pentru calcularea dimensiunii eșantionului folosind o metodă de eșantionare pur aleatorie
| Metoda de selecție | Formule pentru determinarea mărimii eșantionului | ||
| pentru medie | pentru împărțire | ||
| Repetat | |||
| Repetabil |  |  |
|
Metoda intervalului de încredere
Algoritmul pentru găsirea intervalului de încredere include următorii pași:- este specificată probabilitatea de încredere γ (fiabilitatea).
- Parametrul a este estimat din eșantion.
- din relaţia P(α 1) se calculează intervalul de încredere (a - ε; a + ε).
Exemplul nr. 1. La verificarea adecvării unui lot de tablete (250 buc.), s-a dovedit că greutate medie tabletele sunt de 0,3 g, iar abaterea standard a greutății este de 0,01 g Găsiți intervalul de încredere în care greutatea normală a tabletei scade cu o probabilitate de 90%.
Soluţie.
Exemplu. Pe baza rezultatelor observării eșantionului (eșantionul B în apendice), calculați estimări imparțiale ale mediei populației, varianței și abaterii standard.
Descărcați soluția
Exemplu. Găsiți intervale de încredere pentru estimarea mediei și a abaterii standard a populației la probabilitatea de încredere y, dacă un eșantion B și y sunt prelevați din populație.
Descărcați soluția
Exemplu.
1. Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute folosind o selecție nerepetitivă de 10% pur aleatorie, determinați:
a) limitele dincolo de care, cu o probabilitate de încredere de 0,954, valoarea medie a atributului calculată din populația generală nu va depăși;
b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea marginală dimensiune medie cu 50%.
2. Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute prin selecție repetată, determinați:
a) limitele dincolo de care în populația generală nu va depăși valoarea ponderii întreprinderilor ale căror valori individuale ale atributului depășesc modul cu o probabilitate de încredere de 0,954;
b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea marginală a proporției cu 20%.
Orientări
Exercita. Linie de producție pentru producția de piese similare a fost supusă reconstrucției Două mostre au fost date pentru a reflecta procentul de defecte în loturi de piese produse pe o linie dată înainte și după reconstrucție de piese a scăzut?
Exemplu. Mai jos sunt date despre costurile de foraj (cu) pentru 49 de sonde ale bazei petroliere din Siberia de Vest a Rusiei:
| 129 | 142 | 132 | 61 | 96 | 96 | 142 | 17 | 135 | 32 |
| 77 | 58 | 37 | 132 | 79 | 15 | 145 | 64 | 83 | 120 |
| 11 | 54 | 48 | 100 | 43 | 25 | 67 | 25 | 140 | 130 |
| 48 | 124 | 29 | 107 | 135 | 101 | 93 | 147 | 112 | 121 |
| 89 | 97 | 60 | 84 | 46 | 139 | 43 | 145 | 29 |
- efectuarea unui eșantion aleatoriu de n=5;
- determinați valorile de interval ale mediei populației (X) pe baza indicatorilor eșantionului calculați (X, s 2) folosind funcția de distribuție t Student la nivelul de semnificație α=0,05;
- determinați valoarea punctuală a mediei populației (X) din datele originale;
- evaluați acuratețea calculelor de interval prin compararea valorii punctului (X) cu valoarea intervalului calculată din eșantion;
1. Selectați 5 valori din tabel. Să fie 3 coloane: 132, 37, 48, 29, 60.
In sectiunea „Tipul seriei statistice” selectați Seria discretă. În câmpul Număr de linii, introduceți 5. 
2. Introduceți datele inițiale. 
În câmpul Număr de grupuri, selectați „ nu grupați».
În câmpul „Interval de încredere al mediei generale, dispersie și abatere standard” indicăm valoarea γ = 0,95 (care corespunde cu α = 0,05).
În câmpul „Eșantionare” indicăm valoarea 10 (din moment ce din 49 de valori am selectat 5, ceea ce corespunde cu 10,2% (5/49x100%)).
In sectiunea „Rapoarte” Marcam primul element „Interval de încredere pentru media generală”.
3. Soluția rezultată este salvată în format Word ( descărcare).
Înainte de calcule, se creează un tabel preliminar în care se calculează numărul de repetări ale valorilor X.
| x | (x - x medie) 2 |
| 29 | 1036.84 |
| 37 | 585.64 |
| 48 | 174.24 |
| 60 | 1.44 |
| 132 | 5012.64 |
| 306 | 6810.8 |
Nota: în acest caz, calculele folosesc Estimarea abaterii standard.
Sarcina nr. 2: Pentru a studia timpul petrecut la fabricarea unei piese, muncitorii din fabrică au efectuat o prelevare aleatorie nerepetitivă de 10%, care a rezultat într-o distribuție a pieselor în funcție de timpul petrecut, prezentată în anexă. B.
Pe baza acestor date, calculați:
a) timpul mediu petrecut la fabricarea unei piese;
b) abaterile pătratice medii (varianta) și abaterea standard;
c) coeficientul de variaţie;
d) cu o probabilitate de 0,954, eroarea maximă a mediei eșantionului și limitele posibile în care se așteaptă timpul mediu petrecut la fabricarea unei piese în fabrică;
e) cu o probabilitate de 0,954, eroarea maximă a fracției eșantionului și a limitelor greutate specifică numărul de piese cu costuri minime timpul să le facă. Înainte de a face calcule, trebuie să notați condițiile problemei și să completați tabelul. 2.1
Soluţie.
Pentru a obține o soluție, specificați următorii parametri:
- Tip de serie statistică: Se specifică o serie discretă;
- Număr de grupuri: nu grupați;
- Pentru a construi un interval de încredere pentru media generală, dispersie și abaterea standard: y= 0,954;
- Pentru a construi un interval de încredere pentru ponderea generală: y= 0,954;
- Proba: 10 ;
- Afișare în raport: Interval de încredere pentru media generală, Interval de încredere pentru cota generală;
Sarcina nr. 3: Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute prin selecție repetată, determinați:
b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea marginală a proporției cu 20%.
Soluţie.
Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute prin selecție repetată, determinați:
a) limitele dincolo de care în populația generală nu va depăși valoarea ponderii întreprinderilor ale căror valori individuale ale atributului depășesc modul cu o probabilitate de încredere de 0,954;
b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea marginală a proporției cu 20%.
Sarcina nr. 4: O probă nerepetitivă aleatorie de 20% a fost prelevată dintr-un lot de lămpi electrice pentru a determina greutatea medie a spiralei. Rezultatele eșantionului sunt după cum urmează. Greutate, 38-40; 42-44; Număr de spirale: 15; Determinați cu o probabilitate de 0,95 limitele de încredere în care se află greutatea medie a spiralei pentru întregul lot de lămpi electrice.
Soluţie.
Introduceți următorii parametri:
- Tip de serie statistică: Se specifică o serie de intervale;
- Pentru a construi un interval de încredere pentru media generală, varianța și abaterea standard: y = 0,95;
- Proba: 20 ;
- Rezultat pentru raport: Interval de încredere pentru media generală.
Sarcina nr. 5: La uzină, lămpi electrice dintr-un lot de producție de 16.000 buc. Au fost prelevate 1600 de lămpi. (selecție aleatorie, nerepetitivă), din care 40 buc. s-a dovedit a fi defect. Determinați cu probabilitate 0,997 limitele în care procentul de defecte va fi pentru întregul lot de produse.
Soluţie.
Aici N = 16000, n = 1600, w = d / n = 40/1600 = 0,025.
Se numește probabilitatea ca adevărata valoare a mărimii măsurate să se afle într-un anumit interval probabilitatea de încredere , sau coeficient de fiabilitate, și intervalul în sine - interval de încredere.
Fiecare probabilitate de încredere are propriul interval de încredere. În special, un nivel de încredere de 0,67 corespunde unui interval de încredere de la până la . Cu toate acestea, această afirmație este adevărată numai pentru un număr suficient de mare de măsurători (mai mult de 10), iar probabilitatea de 0,67 nu pare suficient de fiabilă - în aproximativ fiecare dintre cele trei serii de măsurători y poate fi în afara intervalului de încredere. Pentru a obține o mai mare încredere că valoarea valorii măsurate se află în intervalul de încredere, se stabilește de obicei o probabilitate de încredere de 0,95 - 0,99. Interval de încredere pentru o probabilitate de încredere dată, ținând cont de influența numărului de măsurători n poate fi găsit prin înmulțirea abaterii standard a mediei aritmetice
.
prin așa-numitul coeficient Student. Coeficienții elevului pentru o serie de valori și n sunt date în tabel.
Tabel - Coeficienții elevului
| Număr de măsurători n | Probabilitatea de încredere y | |||
| 0,67 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | |
| 2,0 | 6,3 | 12,7 | 63,7 | |
| 1,3 | 2,4 | 3,2 | 5,8 | |
| 1,2 | 2,1 | 2,8 | 4,6 | |
| 1,2 | 2,0 | 2,6 | 4,0 | |
| 1,1 | 1,8 | 2,3 | 3,3 | |
| 1,0 | 1,7 | 2,0 | 2,6 |
În sfârșit, pentru cantitatea măsurată y pentru o probabilitate de încredere dată y și numărul de măsurători n primim starea
Vom chema cantitatea eroare aleatorie cantități y.
Exemplu: vezi prelegerea nr. 5 – o serie de numere.
Să definim
Cu un număr de măsurători de 45 și o probabilitate de încredere de 0,95, obținem că coeficientul Student este aproximativ egal cu 2,15. Atunci intervalul de încredere pentru această serie de măsurători este 62,6.
Ratări (eroare gravă) - erori grave asociate cu erori ale operatorului sau influențe externe nesocotite. Acestea sunt de obicei excluse din rezultatele măsurătorilor. Greșelile sunt de obicei cauzate de neatenție. Ele pot apărea și din cauza unei defecțiuni a dispozitivului.
Pentru marea majoritate a măsurătorilor simple, așa-numita lege normală a erorilor aleatoare este satisfăcută destul de bine ( legea lui Gauss), derivat din următoarele prevederi empirice.
1) erorile de măsurare pot lua o serie continuă de valori;
2) cu un număr mare de măsurători, erori de aceeași amploare, dar de semne diferite, apar la fel de des,
3) cu cât este mai mare magnitudinea erorii aleatorii, cu atât este mai puțin probabil să apară.
Graficul legii distribuției gaussiene normale este prezentat în Fig. 1. Ecuația curbei este
unde este funcția de distribuție a erorilor aleatoare (erori), care caracterizează probabilitatea unei erori, σ este eroarea pătratică medie.
Mărimea σ nu este o variabilă aleatoare și caracterizează procesul de măsurare. Dacă condițiile de măsurare nu se schimbă, atunci σ rămâne o valoare constantă. Pătratul acestei mărimi se numește dispersie de măsurare. Cu cât dispersia este mai mică, cu atât răspândirea valorilor individuale este mai mică și precizia măsurării este mai mare.
Valoarea exactă a erorii pătratice medii σ, precum și valoarea adevărată a valorii măsurate, sunt necunoscute. Există o așa-numită estimare statistică a acestui parametru, conform căreia eroarea pătratică medie este egală cu eroarea pătratică medie a mediei aritmetice. A cărui valoare este determinată de formula
unde este rezultatul i a-a dimensiune; - media aritmetică a valorilor obţinute; n– numărul de măsurători.
Cu cât este mai mare numărul de dimensiuni, cu atât este mai mic și se apropie de σ. Dacă valoarea adevărată a mărimii măsurate este μ, valoarea medie aritmetică a acesteia obținută în urma măsurătorilor este , iar eroarea absolută aleatorie este , atunci rezultatul măsurării va fi scris sub forma .
Se numește intervalul de valori de la până la , care conține valoarea adevărată a mărimii măsurate μ interval de încredere. Deoarece este o variabilă aleatoare, valoarea adevărată se încadrează în intervalul de încredere cu probabilitatea α, care se numește probabilitatea de încredere, sau fiabilitate măsurători. Această valoare este numeric egală cu aria trapezului curbat umbrit. (vezi poza)
Toate acestea sunt valabile pentru un număr suficient de mare de măsurători, când σ este aproape. Pentru a găsi intervalul de încredere și probabilitatea de încredere pentru un număr mic de măsurători, de care ne ocupăm în cursul lucrărilor de laborator, folosim Distribuția probabilității elevilor. Aceasta este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare numite Coeficientul elevului, dă valoarea intervalului de încredere în fracții din eroarea pătratică medie a mediei aritmetice.
Distribuția de probabilitate a acestei mărimi nu depinde de σ 2, ci depinde semnificativ de numărul de experimente n. Odată cu creșterea numărului de experimente n distribuția Student tinde către distribuția Gauss.
Funcția de distribuție este tabelată (Tabelul 1). Valoarea coeficientului Student se află la intersecția dreptei corespunzătoare numărului de măsurători n, iar coloana corespunzătoare probabilității de încredere α
Încărcare...