Compararea funcțiilor pentru o aspirație dată. Comparația funcțiilor infinitezimale și infinit de mari

Care sunt funcțiile infinite mici

Cu toate acestea, o funcție poate fi numai infinitezimală într-un anumit punct. După cum se arată în Figura 1, funcția este infinitezimală numai în punctul 0.

Figura 1. Funcția infinitezimală

Dacă limita coeficientului a două funcții are ca rezultat 1, se spune că funcțiile sunt infinitezimale echivalente, deoarece x tinde spre punctul a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definiţie

Dacă funcțiile f(x), g(x) sunt infinitezimale pentru $x > a$, atunci:

O funcție f(x) se numește infinitezimală de ordin superior față de g(x) dacă este îndeplinită următoarea condiție:
O funcție f(x) se numește infinitezimală de ordinul n față de g(x) dacă este diferită de 0 și limita este finită:

Exemplul 1

Funcția $y=x^3$ este infinitezimală de ordin superior pentru x>0, în comparație cu funcția y=5x, întrucât limita raportului lor este 0, acest lucru se explică prin faptul că funcția $y=x ^3$ tinde spre zero mai repede:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Exemplul 2

Funcțiile y=x2-4 și y=x2-5x+6 sunt infinitezimale de același ordin pentru x>2, deoarece limita raportului lor nu este egală cu 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ la 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Proprietățile infinitezimale echivalente

Diferența dintre două infinitezimale echivalente este un infinitezimal de ordin superior față de fiecare dintre ele.
Dacă din suma mai multor infinitezimale de ordine diferite aruncăm infinitezimale de ordine superioară, atunci partea rămasă, numită partea principală, este echivalentă cu întreaga sumă.

Din prima proprietate rezultă că infinitezimalele echivalente pot deveni aproximativ egale cu o eroare relativă arbitrar mică. Prin urmare, semnul ≈ este folosit atât pentru a desemna echivalența infinitezimalelor, cât și pentru a scrie egalitatea aproximativă a valorilor lor suficient de mici.

Atunci când găsiți limite, este foarte adesea necesar să folosiți înlocuirea funcțiilor echivalente pentru viteza și comoditatea calculelor. Tabelul infinitezimalelor echivalente este prezentat mai jos (Tabelul 1).

Echivalența infinitezimalelor date în tabel poate fi dovedită pe baza egalității:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabelul 1

Exemplul 3

Să demonstrăm echivalența infinitezimale ln(1+x) și x.

Dovada:

Să găsim limita raportului cantităților
Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietatea logaritmului:
Știind că funcția logaritmică este continuă în domeniul său de definire, putem schimba semnul limitei și funcția logaritmică:
Deoarece x este o mărime infinitezimală, limita tinde spre 0. Aceasta înseamnă:

(a aplicat a doua limită minunată)

Care sunt funcțiile infinite mici

Cu toate acestea, o funcție poate fi numai infinitezimală într-un anumit punct. După cum se arată în Figura 1, funcția este infinitezimală numai în punctul 0.

Figura 1. Funcția infinitezimală

Dacă limita coeficientului a două funcții are ca rezultat 1, se spune că funcțiile sunt infinitezimale echivalente, deoarece x tinde spre punctul a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definiţie

Dacă funcțiile f(x), g(x) sunt infinitezimale pentru $x > a$, atunci:

O funcție f(x) se numește infinitezimală de ordin superior față de g(x) dacă este îndeplinită următoarea condiție:
O funcție f(x) se numește infinitezimală de ordinul n față de g(x) dacă este diferită de 0 și limita este finită:

Exemplul 1

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Exemplul 2

Funcțiile y=x2-4 și y=x2-5x+6 sunt infinitezimale de același ordin pentru x>2, deoarece limita raportului lor nu este egală cu 0:

Proprietățile infinitezimale echivalente

Diferența dintre două infinitezimale echivalente este un infinitezimal de ordin superior față de fiecare dintre ele.
Dacă din suma mai multor infinitezimale de ordine diferite aruncăm infinitezimale de ordine superioară, atunci partea rămasă, numită partea principală, este echivalentă cu întreaga sumă.

Echivalența infinitezimalelor date în tabel poate fi dovedită pe baza egalității:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabelul 1

Exemplul 3

Să demonstrăm echivalența infinitezimale ln(1+x) și x.

Dovada:

Să găsim limita raportului cantităților
Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietatea logaritmului:
Știind că funcția logaritmică este continuă în domeniul său de definire, putem schimba semnul limitei și funcția logaritmică:
Deoarece x este o mărime infinitezimală, limita tinde spre 0. Aceasta înseamnă:

(a aplicat a doua limită minunată)

Lasă o(x) Și b(x) – b.m. functii la x® o (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Să luăm în considerare limita raportului lor la x® o.

1. Dacă = bŞi b– numărul final, b¹ 0, apoi funcțiile o(x), b(x) sunt numite infinitezimale un ordin de micime la x® o.

2. Dacă = 0, atunci o(x) se numește infinitezimal ordin superior , Cum b(x) la x® o. Evident, în acest caz = ¥.

3. Dacă o(x) – b.m. ordin mai mare decât b(x), și = b¹ 0 ( b– numărul final, kÎ N ), Asta o(x) se numește infinitezimal k-a ordine, comparativ cu b(x) la x® o.

4. Dacă nu există (nici finit, nici infinit), atunci o(x), b(x) sunt numite incomparabil b.m. la x® o.

5. Dacă = 1, atunci o(x), b(x) sunt numite echivalent b.m. la x® o, care se notează după cum urmează: o(x) ~ b(x) la x® o.

Exemplul 1. o(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Este evident că atunci când x® 1 funcții o(x), b(x) sunt b.m. Pentru a le compara, să găsim limita raportului lor la x® 1:

Concluzie: o(x b(x) la x® 1.

Este ușor să verifici că = (asigură-te!), de unde rezultă că o(x) – b.m. Ordinul al 3-lea de micime, comparativ cu b(x) la x® 1.

Exemplul 2. Funcții o 1 (x) = 4x, o 2 (x) = x 2 , o 3 (x) = păcat x, o 4 (x) = tg x sunt infinitezimale la x® 0. Să le comparăm:

0, , = 1, = ¥.

De aici tragem concluzia că o 2 (x) = x 2 – p.m. ordin superior, comparativ cu o 1 (x) Și o 3 (x) (la x® 0), o 1 (x) Și o 3 (x) – b.m. aceeasi ordine o 3 (x) Și o 4 (x) – echivalent b.m., i.e. păcat x~tg x la x® 0.

Teorema 1. Lasă o(x) ~ o 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) la x® o. Dacă există, atunci ambele și = există.

Dovada. = 1, = 1,

= = .

Această teoremă facilitează găsirea limitelor.

Exemplul 3.

Găsiți .

Datorita primei limite remarcabile sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x la x® 0, prin urmare

Teorema 2. Funcții infinitezimale o(x) Și b(x) sunt echivalente (cu x® o) dacă și numai dacă o(x) – b(x) este b.m. ordin superior, comparativ cu o(x) Și b(x) (la x® o).

Dovada

Lasă o(x) ~ b(x) la x® o. Apoi = = 0, adică diferenţă o(x) – b(x o(x) la la x® o(asemănător cu b(x)).

Lasă o(x) – b(x) – b.m. ordin superior, comparativ cu o(x) Și b(x), vom arăta asta o(x) ~ b(x) la x® o:

= = + = 1,

După cum sa arătat, suma, diferența și produsul funcțiilor infinitezimale sunt infinitezimale, dar nu același lucru se poate spune despre particular: împărțirea unui infinitezimal la altul poate da rezultate diferite.

De exemplu, dacă a(x) = 2x, p(x) = 3x, atunci

Dacă a(x) = x 2, P (l;) = x 3, atunci

Este recomandabil să se introducă reguli pentru compararea funcțiilor infinitezimale folosind terminologia adecvată.

Lasă la X -» O funcțiile a(x) și p(.v) sunt infinitezimale. Apoi se disting următoarele opțiuni pentru compararea lor, în funcție de valoare Cu limită la un punct O relatia lor:

1. Dacă Cu= I, atunci a(x) și P(x) sunt infinitezimale echivalente: a(x) - p(x).
2. Dacă Cu= 0, atunci a(x) este un infinitezimal de ordin mai mare decât p(x) (sau are un ordin mai mare de micime).
3. Dacă Cu = d* 0 (d- număr), atunci Oh)și P(x) sunt infinitezimale de același ordin.

Adesea nu este suficient să știm că un infinitezimal în relație cu altul este un infinitezimal de un ordin superior de micșorare, de asemenea, trebuie să estimam mărimea acestui ordin. Prin urmare, se folosește următoarea regulă.

4. Dacă Mm - - =d*0, atunci a(x) este un infinitezimal de ordinul l în raport cu - *->lp"(*)

literal P(x). În acest caz, utilizați simbolul o "o" mic"): a(x) = o(P(x)).

Rețineți că reguli similare pentru compararea funcțiilor infinitezimale pentru x -»oo sunt valide, X-" -oo, X-> +«>, precum și în cazul limitelor unilaterale la x -» O stânga și dreapta.

Din regulile de comparație rezultă o proprietate importantă:

atunci există o limită lim 1, iar ambele limite sunt egale.

Într-un număr de cazuri, declarația dovedită simplifică calculul limitelor și efectuarea estimărilor.

Să ne uităm la câteva exemple.

1. Funcțiile păcatului XŞi X la X-» 0 sunt echivalente cu infinitezimale datorită limitei (8.11), adică. la X -> 0 pacat X ~ X.

Într-adevăr, avem:

2. Funcții păcat khși păcatul X sunt la q: -> 0 infinitezimale de același ordin, deoarece
3. Funcția a(x) = cos ah - cos bx (a * b) este la X-» 0 infinitezimal de ordinul doi de micime față de infinitezimal.v, întrucât

Exemplul 7. Găsiți lim

*-+° x + x"

Soluţie. Din moment ce păcatul kh ~ khŞi X + x 2 ~ X:

Comparația funcțiilor infinit de mari

Pentru funcțiile infinit de mari, se aplică și reguli de comparație similare, singura diferență fiind că pentru ele, în loc de termenul „ordine de micșor”, este folosit termenul de „ordine de creștere”.

Să explicăm ceea ce s-a spus cu exemple.

1. Funcții f(x) = (2 + x)/xși g(x) = 2/x la X-» 0 sunt echivalente cu infinit de mari, deoarece

Date de funcționare /(X)și #(*) au aceeași ordine de creștere.

2. Să comparăm ordinele de creștere ale funcțiilor f(x) = 2x?+Eu și g(x)= x 3 + X la X-> de ce să găsiți limita raportului lor:

Rezultă că funcția g(x) are un ordin de creștere mai mare decât funcția / (x).

3. Funcții infinit de mari pentru x -» °o /(x) = 3x 3 + Xși #(x) = x 3 - 4x 2 au aceeași ordine de creștere, deoarece

4. Funcția /(x) = x 3 + 2x + 3 este infinit de mare pentru x -»

de ordinul trei în raport cu o funcție infinit de mare g(x) = x - I, deoarece

Test

Disciplina: Matematică superioară

Subiect: Limite. Comparația cantităților infinitezimale

1. Limita unei secvențe de numere

2. Limita functiei

3. A doua limită minunată

4. Compararea mărimilor infinitezimale

Literatură

1. Limita unei secvențe de numere

Rezolvarea multor probleme matematice și aplicate duce la o succesiune de numere specificate într-un anumit mod. Să aflăm câteva dintre proprietățile lor.

Definiție 1.1. Dacă pentru fiecare număr natural

conform unor legi, se atribuie un număr real, apoi setul de numere se numește șir de numere.

Pe baza Definiției 1, este clar că o secvență de numere conține întotdeauna un număr infinit de elemente. Studiul diferitelor secvențe de numere arată că, pe măsură ce numărul crește, membrii lor se comportă diferit. Ele pot crește sau scădea la infinit, se pot apropia în mod constant de un anumit număr sau pot să nu arate deloc niciun model.

Definiție 1.2. Număr

se numește limita unei secvențe de numere dacă pentru orice număr există un număr al unei secvențe de numere în funcție de condiția îndeplinită pentru toate numerele șirului de numere.

O secvență care are o limită se numește convergentă. În acest caz ei scriu

Evident, pentru a clarifica problema convergenței unei secvențe numerice, este necesar să existe un criteriu care să se bazeze doar pe proprietățile elementelor sale.

Teorema 1.1.(Teorema lui Cauchy asupra convergenței unei secvențe de numere). Pentru ca o secvență de numere să fie convergentă, este necesar și suficient ca pentru orice număr

a existat un număr dintr-o succesiune numerică în funcție de , astfel încât pentru oricare două numere ale unei secvențe numerice și care îndeplinesc condiția și , inegalitatea ar fi adevărată.

Dovada. Necesitate. Având în vedere că succesiunea de numere

converge, ceea ce înseamnă că, în conformitate cu Definiția 2, are o limită. Să alegem un număr. Apoi, prin definirea limitei unei secvențe numerice, există un număr astfel încât inegalitatea este valabilă pentru toate numerele. Dar din moment ce este arbitrar și se va împlini. Să luăm două numere de ordine și , apoi .

Rezultă că

, adică s-a dovedit necesitatea.

Adecvarea. Se dă că

. Aceasta înseamnă că există un număr astfel încât pentru o condiție dată și . În special, dacă , și , atunci sau cu condiția ca . Aceasta înseamnă că secvența de numere pentru este limitată. Prin urmare, cel puțin una dintre subsecvențele sale trebuie să convergă. Lasă . Să demonstrăm că converge către, de asemenea.

Să luăm un arbitrar

. Apoi, conform definiției unei limite, există un număr astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toți. Pe de altă parte, prin condiție se dă ca șirul să aibă un astfel de număr încât condiția să fie îndeplinită pentru toți. si repara unele. Apoi pentru toți obținem: .

Rezultă că