Вибірки та довірчі інтервали. Побудова довірчого інтервалу для математичного очікування генеральної сукупності Довірча можливість формула
Оновлено: 3 березня 2020 р.
Файл прикладуПобудуємо в MS EXCEL довірчий інтервал для оцінки середнього значення розподілу у разі відомого значеннядисперсії.
Зрозуміло, вибір рівня довіриповністю залежить від розв'язуваного завдання. Так, ступінь довіри авіапасажира до надійності літака, безсумнівно, має бути вищим за ступінь довіри покупця до надійності електричної лампочки.
Формулювання завдання
Припустимо, що з генеральної сукупностімає взята вибіркарозміру n. Передбачається, що стандартне відхиленняцього розподілу відомо. Необхідно на підставі цієї вибіркиоцінити невідоме середнє значення розподілу(μ, ) та побудувати відповідний двостороннійдовірчий інтервал .
Точкова оцінка
Як відомо з , статистика(позначимо її Х ср) є незміщеною оцінкою середньогоцією генеральної сукупностіта має розподіл N(μ;σ 2 /n).
Примітка : Що робити, якщо потрібно збудувати довірчий інтервалу разі розподілу, який не єнормальним?У цьому випадку на допомогу приходить , яка говорить, що за досить великого розміру вибірки n із розподілу що не єнормальним , вибірковий розподіл статистики Х порбуде приблизновідповідати нормальному розподілуіз параметрами N(μ;σ 2 /n).
Отже, точкова оцінкасередньогозначення розподілуу нас є – це середнє значення вибірки, тобто. Х ср. Тепер займемося довірчим інтервалом.
Побудова довірчого інтервалу
Зазвичай, знаючи розподіл та його параметри, ми можемо обчислити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення заданого нами інтервалу. Зараз зробимо навпаки: знайдемо інтервал, у який випадкова величина потрапить із заданою ймовірністю. Наприклад, із властивостей нормального розподілувідомо, що з ймовірністю 95%, випадкова величина, розподілена по нормальному закону, потрапить в інтервал приблизно +/- 2 від середнього значення(Див. статтю про ). Цей інтервал, послужить нам прототипом для довірчого інтервалу .
Тепер розберемося, чи ми знаємо розподіл , щоб визначити цей інтервал? Для відповіді питання ми повинні вказати форму розподілу та її параметри.
Форму розподілу ми знаємо – це нормальний розподіл(нагадаємо, що йдеться про вибірковому розподілістатистикиХ ср).
Параметр μ нам невідомий (його якраз потрібно оцінити за допомогою довірчого інтервалу), але у нас є його оцінка Х пор,обчислена на основі вибірки,яку можна використати.
Другий параметр – стандартне відхилення вибіркового середньогобудемо вважати відомим, Він дорівнює σ/√n.
Т.к. ми не знаємо μ, то будуватимемо інтервал +/- 2 стандартних відхиленьне від середнього значення, а від відомої його оцінки Х ср. Тобто. при розрахунку довірчого інтервалуми не будемо вважати, що Х српотрапить в інтервал +/- 2 стандартних відхиленьвід μ з ймовірністю 95%, а вважатимемо, що інтервал +/- 2 стандартних відхиленьвід Х срз ймовірністю 95% накриє μ - Середня генеральна сукупність,з якого взято вибірка. Ці два твердження еквівалентні, але друге твердження нам дозволяє побудувати довірчий інтервал .
Крім того, уточнимо інтервал: випадкова величина, розподілена по нормальному закону, з ймовірністю 95% потрапляє в інтервал +/- 1,960 стандартних відхилень,а не+/- 2 стандартних відхилень. Це можна розрахувати за допомогою формули =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2), Див. файл прикладу Лист Інтервал .
Тепер ми можемо сформулювати ймовірнісне твердження, яке послужить нам для формування довірчого інтервалу: «Ймовірність того, що середня генеральна сукупністьзнаходиться від середньої вибіркив межах 1,960 « стандартних відхилень вибіркового середнього», Дорівнює 95% ».
Значення ймовірності, згадане у твердженні, має спеціальну назву , який пов'язаний зрівнем значимості α (альфа) простим виразом рівень довіри = 1 -α . У нашому випадку рівень значущості α =1-0,95=0,05 .
Тепер на основі цього ймовірнісного твердження запишемо вираз для обчислення довірчого інтервалу :
де Z α/2 – стандартногонормального розподілу(Таке значення випадкової величини z , що P (z >= Z α/2 )=α/2).
Примітка : Верхній α/2-квантильвизначає ширину довірчого інтервалув стандартних відхиленняхвибіркового середнього. Верхній α/2-квантиль стандартногонормального розподілузавжди більше 0, що дуже зручно.
У нашому випадку при α=0,05, верхній α/2-квантиль дорівнює 1,960. Для інших рівнів значення α (10%; 1%) верхній α/2-квантильZ α/2 можна обчислити за допомогою формули =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2)або, якщо відомий рівень довіри , =НОРМ.СТ.ОБР((1+ур.довіри)/2) .
Зазвичай при побудові довірчих інтервалів для оцінки середньоговикористовують тільки верхній α /2- квантильі не використовують нижній α /2- квантиль. Це можливо тому, що стандартненормальний розподілсиметрично щодо осі х ( щільність його розподілусиметрична щодо середнього, тобто. 0) . Тому немає потреби обчислювати нижній α/2-квантиль(його називають просто α /2-квантиль), т.к. він дорівнює верхньому α /2- квантилюзі знаком мінус.
Нагадаємо, що, незважаючи на форму розподілу величини х, відповідна випадкова величина Х сррозподілено приблизнонормально N(μ;σ 2 /n) (див. статтю про ). Отже, у загальному випадку, вищезгадане вираз для довірчого інтервалує лише наближеним. Якщо величина х розподілена по нормальному закону N(μ;σ 2 /n), то вираз для довірчого інтервалує точним.
Розрахунок довірчого інтервалу в MS EXCEL
Розв'яжемо завдання. Час відгуку електронного компонента на вхідний сигнал є важливою характеристикою пристрою. Інженер хоче побудувати довірчий інтервал для середнього відгуку при рівні довіри 95%. З попереднього досвіду інженер знає, що стандартне відхилення часу відгуку складає 8 мсек. Відомо, що з оцінки часу відгуку інженер зробив 25 вимірів, середнє значення становило 78 мсек.
Рішення: Інженер хоче знати час відгуку. електронного пристроюале він розуміє, що час відгуку не фіксованою, а випадковою величиною, яка має свій розподіл. Отже, найкраще, на що він може розраховувати, це визначити параметри та форму цього розподілу.
На жаль, з умови завдання форма розподілу часу відгуку нам не відома (вона не обов'язково має бути нормальним). , цього розподілу також невідомо. Відомо лише його стандартне відхиленняσ=8. Тому, поки ми не можемо порахувати ймовірності та побудувати довірчий інтервал .
Однак, незважаючи на те, що ми не знаємо розподілу часуокремого відгуку, ми знаємо, що згідно ЦПТ , вибірковий розподілсереднього часу відгукує приблизно нормальним(вважатимемо, що умови ЦПТвиконуються, т.к. розмір вибіркидосить великий (n=25)) .
Більше того, середняцього розподілу дорівнює середнього значеннярозподілу одиничного відгуку, тобто. μ. А стандартне відхиленняцього розподілу (σ/√n) можна обчислити за формулою =8/КОРІНЬ(25) .
Також відомо, що інженером було отримано точкова оцінкапараметра μ дорівнює 78 мсек (Х пор). Тому, ми можемо обчислювати ймовірності, т.к. нам відома форма розподілу ( нормальне) та його параметри (Х ср і σ/√n).
Інженер хоче знати математичне очікуванняμ розподілу часу відгуку. Як було сказано вище, це μ дорівнює математичному очікуванню вибіркового розподілу середнього часу відгуку. Якщо ми скористаємося нормальним розподілом N(Х ср; σ/√n), то шукане μ перебуватиме в інтервалі +/-2*σ/√n з ймовірністю приблизно 95%.
Рівень значущостідорівнює 1-0,95 = 0,05.
Нарешті, знайдемо лівий та правий кордон довірчого інтервалу. Ліва межа: =78-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРІНЬ(25) = 74,864 Права межа: =78+НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРІНЬ(25)=81,136
Ліва межа: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78; 8/КОРІНЬ(25))Права межа: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2; 78; 8/КОРІНЬ(25))
Відповідь : довірчий інтервалпри рівні довіри 95% та σ =8 мсекдорівнює 78+/-3,136 мсек.
У файл прикладу на аркуші Сигмавідома створена форма для розрахунку та побудови двосторонньогодовірчого інтервалудля довільних вибірокіз заданим σ та рівнем значимості .
Функція ДОВЕРИТ.НОРМ()
Якщо значення вибіркизнаходяться в діапазоні B20: B79 , а рівень значущостідорівнює 0,05; то формула MS EXCEL: =СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; РАХУНОК(B20:B79))поверне лівий кордон довірчого інтервалу .
Цей же кордон можна обчислити за допомогою формули: =СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРІНЬ(РАХУНОК(B20:B79))
Примітка: Функція ДОВЕРИТ.НОРМ() з'явилася в MS EXCEL 2010. У попередніх версіях MS EXCEL використовувалася функція ДОВЕРИТ() .
Довірчий інтервал– граничні значення статистичної величини, яка із заданою довірчою ймовірністю γ буде у цьому інтервалі при вибірці більшого обсягу. Позначається як P(θ - ε. На практиці вибирають довірчу ймовірність γ з досить близьких до одиниці значень γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу визначаються:
- довірчий інтервал для генерального середнього; довірчий інтервал для дисперсії;
- довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення, довірчий інтервал для генеральної частки;
Приклад №1. У колгоспі із загального стада у 1000 голів овець вибірковій контрольній стрижці зазнали 100 овець. В результаті було встановлено середній настриг вовни 4,2 кг на одну вівцю. Визначити з ймовірністю 0,99 середню квадратичну помилку вибірки щодо середнього настригу вовни однією вівцю і межі, у яких укладена величина настрига, якщо дисперсія дорівнює 2,5 . Вибірка неповторна.
Приклад №2. З партії імпортованої продукції посаді Московської Північної митниці було взято як випадкової повторної вибірки 20 проб продукту «А». В результаті перевірки встановлено середню вологість продукту «А» у вибірці, яка дорівнювала 6 % при середньому квадратичному відхиленні 1 %.
Визначте з ймовірністю 0,683 межі середньої вологості продукту в усій партії імпортованої продукції.
Приклад №3. Опитування 36 студентів показало, що середня кількість підручників, прочитаних ними за навчальний рік, дорівнювала 6. Вважаючи, що кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, має нормальний закон розподілу із середнім квадратичним відхиленням, рівним 6, знайти: А) з надійністю 0 ,99 інтервальну оцінку для математичного очікування цієї випадкової величини; Б) з якою ймовірністю можна стверджувати, що середня кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, обчислена за даною вибіркою, відхилиться від математичного очікування абсолютної величини не більше, ніж на 2.
Класифікація довірчих інтервалів
По виду оцінюваного параметра:
За типом вибірки:
- Довірчий інтервал для безкінечної вибірки;
- Довірчий інтервал для кінцевої вибірки;
Розрахунок середньої помилки вибірки при випадковому відборі
Розбіжність між значеннями показників, отриманих за вибіркою, та відповідними параметрами генеральної сукупності називається помилкою репрезентативності.Позначення основних параметрів генеральної та вибіркової сукупності.
| Формули середньої помилки вибірки | |||
| повторний відбір | безповторний відбір | ||
| для середньої | для частки | для середньої | для частки |
 |
|||
Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому способі відбору
| Спосіб відбору | Формули визначення чисельності вибірки | ||
| для середньої | для частки | ||
| Повторний | |||
| Неповторний |  |  |
|
Метод довірчих інтервалів
Алгоритм знаходження довірчого інтервалу включає такі кроки:- задається довірча ймовірність γ (надійність).
- за вибіркою визначається оцінка параметра a.
- із співвідношення P(α 1 розраховується довірчий інтервал (a - ε ; a + ε).
Приклад №1. Під час перевірки придатності партії таблеток (250 шт.) виявилося, що середня вагатаблетки 0,3 г, а СКО ваги 0,01 г. Знайти довірчий інтервал, який з ймовірністю 90% потрапляє норма ваги таблетки.
Рішення.
Приклад. За результатами вибіркового спостереження (вибірка Додаток) обчисліть незміщені оцінки середнього значення, дисперсії та середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності.
Завантажити рішення
Приклад. Знайдіть довірчі інтервали для оцінки середнього значення та середнього квадратичного відхилення генеральних сукупностей за довірчої ймовірності y, якщо з генеральних сукупностей зроблена вибірка В та y.
Завантажити рішення
Приклад.
1. Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні № 2 та вважаючи, що ці дані отримані за допомогою власно-випадкового 10-ти процентного безповторного відбору, визначити:
а) межі, за які з довірчою ймовірністю 0,954 не вийде середнє значення ознаки, розраховане за генеральною сукупністю;
б) як потрібно змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку середньої величинина 50%.
2. Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні № 2 та вважаючи, що ці дані отримані за допомогою повторного відбору, визначити:
а) межі, за які в генеральній сукупності не вийде значення частки підприємств, у яких індивідуальні значення ознаки перевищують моду з вірогідністю 0,954;
б) як змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку частки на 20%.
Методичні вказівки
Завдання. Поточна лініяз виробництва однотипних деталей піддавалася реконструкції Задано дві вибірки деталі, що відображають відсоток шлюбу в партіях деталей, що випускаються на даній лінії, до і після реконструкції Чи можна достовірно стверджувати, що після реконструкції відсоток шлюбу в партіях деталей знизився?
Приклад. Нижче наведено дані щодо витрат на буріння (у.о.) для 49 свердловин Західно-Сибірської нафтової бази Росії:
| 129 | 142 | 132 | 61 | 96 | 96 | 142 | 17 | 135 | 32 |
| 77 | 58 | 37 | 132 | 79 | 15 | 145 | 64 | 83 | 120 |
| 11 | 54 | 48 | 100 | 43 | 25 | 67 | 25 | 140 | 130 |
| 48 | 124 | 29 | 107 | 135 | 101 | 93 | 147 | 112 | 121 |
| 89 | 97 | 60 | 84 | 46 | 139 | 43 | 145 | 29 |
- провести вибірку власне випадковим способом обсягом n = 5;
- визначити інтервальні значення середньої генеральної сукупності (X) за розрахованими вибірковими показниками (X, s 2) за допомогою функції t-розподілу Стьюдента при рівні значимості α=0.05;
- визначити точкове значення середньої генеральної сукупності (X) за вихідними даними;
- оцінити правильність інтервальних розрахунків, порівнюючи точкове значення (X) з інтервальним значенням, розрахованим на вибірку;
1. Вибираємо 5 значень із таблиці. Нехай це буде 3 стовпець: 132, 37, 48, 29, 60.
У розділі «Вигляд статистичного ряду»обираємо Дискретний ряд. У полі Кількість рядків вказуємо 5. 
2. Вводимо вихідні дані. 
У полі Кількість груп вибираємо пункт « не робити угруповання».
Поле «Довірчий інтервал генерального середнього, дисперсія та середньоквадратичне відхилення» вказуємо значення γ = 0.95 (що відповідає α=0.05).
У полі «Вибірка» вказуємо значення 10 (оскільки із 49 значень вибрали 5, що відповідає 10,2% (5/49x100%)).
У розділі «Виводить у звіт»відзначаємо перший пункт «Довірчий інтервал для генерального середнього».
3. Отримане рішення зберігається у форматі Word ( скачати).
Перед розрахунками створюється попередня таблиця, де підраховується кількість повторень значень Х.
| x | (x - x ср) 2 |
| 29 | 1036.84 |
| 37 | 585.64 |
| 48 | 174.24 |
| 60 | 1.44 |
| 132 | 5012.64 |
| 306 | 6810.8 |
Примітка: у разі у розрахунках використовується Оцінка середньоквадратичного відхилення.
Завдання №2: З метою вивчення витрат часу на виготовлення однієї деталі робітниками заводу проведено 10%-ву випадкову безповторну вибірку, в результаті якої отримано розподіл деталей за витратами часу, представлене в дод. Б.
На підставі цих даних обчисліть:
а) середні витрати часу виготовлення однієї деталі;
б) середній квадрат відхилень (дисперсію) та середнє квадратичне відхилення;
в) коефіцієнт варіації;
г) з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибіркової середньої та можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі;
д) з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибіркової частки та кордону питомої вагичисла деталей з мінімальними витратамичасу на їхнє виготовлення. Перед тим, як проводити розрахунки, необхідно записати умови завдання та заповнити табл. 2.1
Рішення.
Для отримання рішення вказуємо наступні параметри:
- Вид статистичного ряду: Задано дискретний ряд;
- Кількість груп: не робити угруповання;
- Для побудови довірчого інтервалу генерального середнього, дисперсії та середньоквадратичного відхилення: y = 0.954;
- Для побудови довірчого інтервалу генеральної частки: y = 0.954;
- Вибірка: 10;
- Виводити до звіту: Довірчий інтервал для генерального середнього, Довірчий інтервал для генеральної частки;
Завдання №3: Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні №2 і вважаючи, що ці дані отримані за допомогою повторного відбору, визначити:
б) як змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку частки на 20%.
Рішення.
Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні № 2 та вважаючи, що ці дані отримані за допомогою повторного відбору, визначити:
а) межі, за які у генеральній сукупності не вийде значення частки підприємств, у яких індивідуальні значення ознаки перевищують моду з довірчою ймовірністю 0.954;
б) як змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку частки на 20%.
Завдання №4: З партії електроламп взята 20% випадкова безповторна вибірка для визначення середньої ваги спіралі. Результати вибірки такі. Вага, мг: 38-40; 40-42; 42-44; 44-46. Число спіралей:15;30;45;10. Визначити з ймовірністю 0.95 довірчі межі, в яких лежить середня вага спіралі, для всієї партії електроламп.
Рішення.
Вводимо такі параметри:
- Вигляд статистичного ряду: Задано інтервальний ряд;
- Для побудови довірчого інтервалу генерального середнього, дисперсії та середньоквадратичного відхилення: y = 0.95;
- Вибірка: 20;
- Виводити у звіт: Довірчий інтервал для середнього генерального.
Завдання №5: На заводі електроламп із партії продукції в кількості 16000 шт. ламп взято на вибірку 1600 шт. (Випадковий, безповторний відбір), з яких 40 шт. виявилися бракованими. Визначити з ймовірністю 0.997 межі, у яких перебуватиме відсоток шлюбу всієї партії продукції.
Рішення.
Тут N = 16000, n = 1600, w = d / n = 40/1600 = 0.025.
Імовірність того, що справжнє значення вимірюваної величини лежить усередині деякого інтервалу, називається довірчою ймовірністю , або коефіцієнтом надійності, а сам інтервал - довірчим інтервалом.
Кожній вірогідності відповідає свій довірчий інтервал. Зокрема, вірогідності 0,67 відповідає довірчий інтервал від до . Однак це твердження справедливе лише при досить великій кількості вимірювань (більше 10), та й ймовірність 0,67 не є достатньо надійною - приблизно в кожній із трьох серій вимірювань yможе опинитися поза довірчого інтервалу. Для отримання більшої впевненості в тому, що значення вимірюваної величини лежать усередині довірчого інтервалу, зазвичай задаються вірогідністю 0,95 - 0,99. Довірчий інтервал для заданої довірчої ймовірності з урахуванням впливу кількості вимірювань nможна знайти, помноживши стандартне відхилення середнього арифметичного
.
на так званий коефіцієнт Стьюдента. Коефіцієнти Стьюдента для ряду значень та nнаведено у таблиці.
Таблиця - Коефіцієнти Стьюдента
| Число вимірів n | Довірча ймовірність y | |||
| 0,67 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | |
| 2,0 | 6,3 | 12,7 | 63,7 | |
| 1,3 | 2,4 | 3,2 | 5,8 | |
| 1,2 | 2,1 | 2,8 | 4,6 | |
| 1,2 | 2,0 | 2,6 | 4,0 | |
| 1,1 | 1,8 | 2,3 | 3,3 | |
| 1,0 | 1,7 | 2,0 | 2,6 |
Звичайно, для вимірюваної величини yпри заданій довірчій ймовірності y та числі вимірювань nвиходить умова
Величину ми називатимемо випадковою похибкою величини y.
Приклад: див. лекцію №5 – ряд чисел.
Визначимо
При числі вимірів – 45 і довірчої ймовірності – 0,95 отримаємо, що коефіцієнт Стьюдента приблизно дорівнює 2,15. Тоді довірчий інтервал даного ряду вимірів дорівнює 62,6.
Промахи (груба похибка) -грубі похибки, пов'язані з помилками оператора чи неврахованими зовнішніми впливами. Їх зазвичай виключають із результатів вимірювань. Промахи, зазвичай, викликаються неуважністю. Вони можуть також виникати внаслідок несправності приладу.
Для переважної більшості простих вимірів досить добре виконується так званий нормальний закон випадкових похибок ( закон Гауса), Виведений з наступних емпіричних положень.
1) похибки вимірювань можуть набувати безперервного ряду значень;
2) при великій кількості вимірів похибки однакової величини, але різного знака зустрічаються однаково часто,
3) чим більша величина випадкової похибки, тим менша ймовірність її появи.
Графік нормального закону розподілу Гаусса представлено на рис.1. Рівняння кривої має вигляд
де - Функція розподілу випадкових помилок (похибок), що характеризує ймовірність появи помилки, σ - Середня квадратична помилка.
Величина не є випадковою величиною і характеризує процес вимірювань. Якщо умови вимірювань не змінюються, то залишається постійною величиною. Квадрат цієї величини називають дисперсією вимірів.Чим менша дисперсія, тим менший розкид окремих значень і тим вища точність вимірів.
Точне значення середньої квадратичної помилки, як і справжнє значення вимірюваної величини, невідомо. Існує так звана статистична оцінка цього параметра, відповідно до якої середня квадратична помилка дорівнює середньої квадратичної помилки середнього арифметичного. Величина якої визначається за формулою
де - результат i-го виміру; - середнє арифметичне отриманих значень; n- Число вимірювань.
Чим більша кількість вимірів, тим менше і тим більше воно наближається до σ. Якщо справжнє значення вимірюваної величини μ, її середнє арифметичне значення, отримане в результаті вимірювань, а абсолютна випадкова похибка , то результат вимірювань запишеться у вигляді .
Інтервал значень від до , до якого потрапляє справжнє значення вимірюваної величини μ, називається довірчим інтервалом.Оскільки є випадковою величиною, то справжнє значення потрапляє до довірчого інтервалу з ймовірністю α, яка називається довірчою ймовірністю,або надійністювимірів. Ця величина чисельно дорівнює площі заштрихованої криволінійної трапеції. (Див. рис.)
Все це справедливо для досить великої кількості вимірів, коли близька до σ. Для пошуку довірчого інтервалу та довірчої ймовірності при невеликій кількості вимірів, з яким ми маємо справу в ході виконання лабораторних робіт, використовується розподіл ймовірностей Стьюдента.Це розподіл ймовірностей випадкової величини коефіцієнтом Стьюдентадає значення довірчого інтервалу в частках середньої квадратичної помилки середнього арифметичного.
Розподіл ймовірностей цієї величини не залежить від σ 2 , а суттєво залежить від кількості дослідів n.Зі збільшенням кількості дослідів nРозподіл Стьюдента прагне розподілу Гаусса.
Функція розподілу табульована (табл.1). Значення коефіцієнта Стьюдента знаходиться на перетині рядка, що відповідає числу вимірювань n, і стовпця, що відповідає довірчій ймовірності α
Завантаження...